斐波那契數列指的是這樣一個數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368......

       我記得在初學C語言的時候，大學老師經常會講一些常見的數學問題及遞迴的使用，其中斐波那契數列就是一定會被拿出來舉例的。在後來工作中，面試做面試題的時候，也很大概率會出現編寫演算法實現斐波那契額數列求值。可以說，在我們程式設計道路上，編寫演算法實現斐波那契數列是每個程式設計師必定會做的一件事。昨天去參加騰訊課堂舉辦的一個線下活動，活動中有一位嘉賓，是某課堂的創始人，也是演算法課程的講師，就講到了這個問題，算是顛覆了我對該問題的認知。本文就根據這名講師的講解，來分析和整理一下該問題演算法的實現。

       下面，我們來看看其中幾種常見的演算法，並分析其效率。

  1、遞迴法

       通過觀察，我們會發現其中的規律，第一項和第二項的值均為1，後面每項的值都是前兩項值之和，所以我們很多人基本上都會使用遞迴來實現，常見的演算法如下：

1 public int fib(int n) {
2     if (n == 1 || n == 2) {
3         return 1;
4     }
5     return fib(n - 2) + fib(n - 1);
6 }

這段程式碼看起來非常的簡潔和優雅，我想我們絕大多數的人平時也都是這麼寫的吧，在此之前筆者就一直都是這麼寫的，而且在我的知識儲備中也就只知道有這樣一種演算法。

        實際上，當n還比較小的時候，用遞迴法來實現是沒有什麼問題的，但是當n稍微大一點的時候，比如n=45的時候，我們通過如下測試程式碼來看看它的執行結果：

1 MyClass myClass = new MyClass();
2 long t1 = System.currentTimeMillis();
3 int n = 45;
4 int result = myClass.fib(n);
5 long t2 = System.currentTimeMillis();
6 System.out.println("n=" + n + ";result=" + result + ";time=" + (t2 - t1));

得到結果為：

n=45;result=1134903170;time=2881

我們發現執行這段程式碼，花費的時間是2881ms。如果值再大一點，如n=48：

n=48;result=512559680;time=11746

時間達到了11s以上了！如果n再稍微大一點，所消耗的時間是成指數級增長的，比如n=64的時候，所消耗的時間可能是兩三百年！不信的話，讀者可以試試！

       這樣看來，就非常可怕了，我們一直認為毫無問題的看起來既簡潔又優雅的演算法，居然是這麼耗時的，這簡直就是一段垃圾程式碼。

       我們用一張圖來簡單分析一下該演算法的執行過程，以n=6為例：

       我們會發現f(n)這個方法被呼叫了很多次，而且其中重複率非常之高，也就是說被重複計算了很多次，如果n稍微大一點這棵樹會非常龐大。這裡我們可以看出，每個節點就需要計算一次，總計算的次數就是該二叉樹節點的數量，可見其時間複雜度為O(2ⁿ)，是指數級的，其空間複雜度也就是該二叉樹的高度，為O(n)。這樣來看，我們應該就清楚了，為什麼這段程式碼效率如此低下了吧。 

  2、陣列儲存法（該名稱是自己命令的）

       為了避免無數次重複，可以從n=1開始往上計算，並把每一個計算出來的資料，用一個數組儲存，需要最終值時直接從陣列中取即可，演算法如下：

1 public int fib(int n) {
2     int[] fib = new int[n];
3     fib[0] = 1;
4     fib[1] = 1;
5     for (int i = 2; i < n; i++) {
6         fib[i] = fib[i - 2] + fib[i - 1];
7     }
8     return fib[n - 1];
9 }

我們也分別取n=45和n=48來看看執行結果

n=45;result=1134903170;time=0

n=48;result=512559680;time=0

消耗的時間都是0（我這裡獲取的時間是精確到ms級別的，前後的時間差在1ms以下，所以這裡計算出來的結果為0，實際耗時不可能為0，後續不贅述），可見執行效率提高了很多。這種演算法主要有一個for迴圈，其時間複雜度為O(n)，期間需要開闢一個長度為n的陣列，所以空間複雜度也為O(n)，這就在上述演算法的基礎上極大地提升了效率。

  3、變數儲存法（也是自己命名的）

       儘管上述演算法已經很高效了，但我們還是會發現一個問題，其實整個陣列中，每次計算時都只需要最新的3個值，前面的值計算完後就不再需要了。比如，計算到第10次時，需要的陣列空間只有第8和第9兩個空間，前面第1到第7個空間其實就不再需要了。所以我們還可以改進，通過3個變數來儲存資料，演算法如下：

 1 public int fib(int n) {
 2     int first = 1;
 3     int second = 1;
 4     int third = 2;
 5     for (int i = 3; i <= n; i++) {
 6         third = first + second;
 7         first = second;
 8         second = third;
 9     }
10     return third;
11 }

時間複雜度仍然為O(n)，而空間複雜度為常量級別3，即空間複雜度為0，所以這種方法是非常高效的。

  4、公式法

       實際上，求斐波那契數列值有一個公式：

可以通過該公式來實現演算法：

1 public int fib(int n) {
2     double c = Math.sqrt(5);
3     return (int) ((Math.pow((1 + c) / 2, n) - Math.pow((1 - c) / 2, n)) / c);
4 }

其時間複雜度和空間複雜度就取決於JDK中這些數學公式的實現了，執行效率也是非常高的：

n=48;result=512559680;time=0

       通過上面的分析，我們在寫演算法實現斐波那契數列時，可以根據實際情況選擇第3種和第4種。

       如果讀者發現本文有描述不正確或者不妥的地方，請不吝賜教，非常感謝！