## 數的機器碼錶示 @[toc] 為了妥善的處理資料運算過程中符號位的問題，於是就產生了**把符號位和數值位一起編碼**起來**表示相應的數**的各種表示方法。例如我們熟悉的原碼、反碼、補碼、移碼等。通常將未經**編碼的數稱為真值**，編碼後的數稱為**機器數或者機器碼**。 - **真值的形式**：**正、負號加某進位制數絕對值的形式**，即**數的實際值**。如`+3`，`-5`等 - **機器數的形式**：真值按某種編碼方式進行編碼後的數值，即**真值在機器中的表示**，稱為機器數，一般可以分為 **無符號數和有符號數**兩種如：**X=01011** ，**Y=11011** ### 原碼 #### 定點整數 若定點整數的原碼形式位$x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0$,其中$x_n$為符號位，則原碼錶示的定義為： $$ x_{[原]}=\left\{\begin{matrix} x & 0 \leqslant x<2^n \\ 2^n-x=2^n+|x| & -2^n0000 - -0 - 1000-->1111 #### 定點小數 假設定點小數的反碼形式為$x_s.x_1x_2...x_n$(**實際上小數點是不儲存的**),其中$x_s$代表符號位。則反碼的定義為： $$ x_{[反]}=\left\{\begin{matrix}x & 0 \leqslant x<1 \\ 2-2^{-n}+x=2-2^{-n}-|x| & -1 我們既可以順時針調也可以逆時針調。也就是說我們$5-2$和$5+10$的效果是一樣的。 而把這種思想引入到計算機中，不就可以把減法轉為加法了嗎？ $$ 5-2=5+10（MOD 12） \\5+（-2）=5+10（MOD 12）\\ -2=10（MOD 12） $$ 在上面的式子中，在**模為12的情況下，-2的補碼就是10**。一個負 數用其補碼代替，同樣可以得到正確的運算結果。 那什麼是**模**呢？ >

計算機中運算器、暫存器、計數器都有一定的位數，不可能容納無限大的任意數。當運算結果超出實際的最大表示範圍， 就會發生溢位，此時所產生的**溢位量**就是**模（module）** 可以把模定義為一個**計量器的容量**。 如一個**八位計數器**，`0000 0000~1111 1111`,它表示的範圍就是`[0,255]`。當計數器表示為`1111 1111` 時，如果**計數器再加一**，那麼此計數器就會溢位。計數器上的數值會變成**0000 0000**.而此計數器的溢位量就是**256**. 假設此計數器表示一個定點小數，它表示的範圍就是[0,2-$2^{-8}$]。當表示最大的時候，計數器值為**1.111 1111**當**計數器加一**的時候，那麼計數器就會清零，變為**0.0000000**。那麼此此定點小數的溢位量就是**2**. 從上面我們可以推匯出，一個`n+1`位定點整數$x_n x_{(n-1)} ... x_2 x_1 x_0$，它的溢位量為$2^{n+1}$，所以模為$2^{n+1}$。 任意一個定點小數$x_s.x_1x_2...x_n$,它的溢位量是2，所以模為2。 而**在計算機中**，機器能表示的**資料位數是固定**的， 其**運算都是有模運算**。若運算結果**超出**了計算機所能表示的數值範圍， 則只**保留它的小於模的低n+1位**的數值，**超過n+1 位**的高位部分就**自動捨棄**了。 下面我們來引入**補碼的定義**： #### 定點整數 定點整數的補碼形式為$x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0$,其中$x_n$為符號位，補碼錶示的定義為： $$ x_{[補]}=\left\{\begin{matrix}x & 0 \leqslant x<2^n \\ 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x| & -2^n \leqslant x\leqslant0\end{matrix}\right. $$ 在上式中，**x代表的是真值**。 例如，$x=+7$,化為二進位制表示為$x=+0111$;$x_{[補]}=0111$。 $x=-7$,化為二進位制表示為$x=-0111$;$x_{[補]}=2^4+(-0111)=10000-0111=1001$。 我們可以總結出來： - 對於正數$x=+x_{n-1}...x_1x_0$,它的補碼是它自己本身，常常在最高位前面補0，代表它是一個正數。 - $x_{[補]}=0_nx_{n-1}...x_1x_0$ - 對於0，根據補碼的定義： - $+0=+0_{n-1}...0_10_0$ - 此時正0的補碼為$+0_{[補]}=0_n0_{n-1}...0_10_0$ - $-0=-0_{n-1}...0_10_0$ - 此時負0的補碼為$-0_{[補]}=（10_n0_{n-1}...0_10_0-0_{n-1}...0_20_10_1）mod(10_n0_{n-1}...0_10_0)=0_n0_{n-1}...0_10_0$ 由此可見，**零的補碼是唯一的**，沒有+0和-0之分。 - 對於負數$x=-x_{n-1}...x_1x_0$ ​ 常常可以通過把**數值位按位取反**，然後**末位加一來計算負數的補碼**。 - 如求$-127$的補碼 - $[-0111 1111]_{[補]}=10000 0000-01111111 $ - $10000000=11111111+1$ - $[-0111 1111]_{[補]}=11111111-01111111+1$，這一步剛剛說明了上面的計算方法的原理。 $-128$的補碼的求法。 - -128=-1000 0000 - $[-10000000]_{[補]}=11111111-10000000+1=10000000$ 其實還有一個更為漸變的補碼的求法：**從右到左遇到第一個 1 的前面各位取反。**也就是從右向左，遇到1之前，還保持原樣。遇到1之後，各位取反。以-126為例：$-126=-01111110$ [-01111110]的補碼位**100000**10，10是不變的。而黑體部分則是取反的。 對於補碼的取值範圍，10000000-11111111——- $-128$~$-1$ 00000000~011111111 ——0~127 推廣到n位數，則**補碼的範圍**就是[$-2^{n-1},2^{n-1}-1$] #### 定點小數 定點小數的補碼形式為$x_s.x_1x_2...x_n$(**實際上小數點是不儲存的**),其中$x_s$代表符號位。則補碼的定義為： $$ x_{[原]}=\left\{\begin{matrix}x & 0 \leqslant x<1 \\ 2+x=2-|x| & -1\leqslant x\leqslant0\end{matrix}\right. $$ 在上式中，x代表的是真值。 例如，$x=+0.875$,化為二進位制表示為$x=+0.111$;$x_{[補]}=0.111$。 $x=-0.875$二進位制表示為$x=-0.111$;$x_{[補]}=10.000-(0.111)=1.001$。 我們可以總結出來： - 對於正數$x=+0.x_{n-1}...x_1x_0$,它的補碼是它自己本身，常常在最高位前面補0，代表它是一個正數。(注意，**前面的0.實際上是不儲存的**，也就是實際最高位是$x_{n-1}$) - $x_{[原]}=0.x_{n-1}...x_1x_0$ - 對於0，根據補碼的定義： - $+0=+0.0_{n-1}...0_10_0$ - 此時正0的補碼為$+0_{[補]}=0.0_{n-1}...0_10_0$ - $-0=-0.0_{n-1}...0_10_0$ - 此時負0的補碼為$-0_{[補]}=（10.0_{n-1}...0_10_0-0.0_{n-1}...0_10_0）mod(10.0_{n-1}...0_10_0)=0.0_{n-1}...0_10_0$ 也就是說**，0的補碼是唯一的**。 - 對於負數 按位取反，末位加一，和定點整數一樣。雖然我們看起來有一個小數點，但是實際上小數點是不儲存的。 定點小數的補碼的範圍，0000~0111--> [0,0.875] 1000~1111--> [-1,-0.125] 擴充套件到n位補碼 我們很容易求出它的範圍$[-1,1-2^{-（n-1）}] $ #### 補碼的運算 假設一個二進位制整數補碼有n+1位，$x_nx_{n-1}...x_2x_1x_0$,則補碼與真值的對應關係可以這麼表示： $X_{真值}=-2^n\times x_n+\sum_{0}^{n-1}2^ix_n$ 當該數為正整數的時候，$x_n$位變為0，$0x_{n-1}...x_2x_1x_0$, $X_{真值}=\sum_{0}^{n-1}2^ix_n$ 當該數為負整數的時候，$x_n$位變為1，$1 x_{n-1}...x_2x_1x_0$, $X_{真值}=-2^n+\sum_{0}^{n-1}2^ix_n$ - 以-127為例，-127=-01111111 - 它的補碼為10000001 - 從補碼求真值的過程:-10000000+1=-01111111-1+1=-01111111 上面我們說到過，計算機中用原碼進行加減運算是十分麻煩的，那麼我們來看一下用補碼來運算。 $126-127=0$ - 原碼 - $01111110-01111111$ - 我們需要比較數值位的絕對值大小，來決定符號位，1 - 1111111-1111110=0000001 - 10000001 假設把減法看成加法 - 01111110+（-01111111）=01111110+11111111=**1**00000001 - 1會溢位，那麼得到的結果就是00000001，按原碼錶示的化，真值為1，顯然是錯誤的。 - 補碼 - 01111110+10000001=11111111 - 轉換為真值後為-1。正確的 - 原理是這樣的 - 126-127=-1 - 126+(-127)=-1 - 126+129mod256=-1 - 這裡-127等效於129mod256 由此，我們可以看出，補碼實際上是**可以直接帶符號位運算的運算**的。 求相反數的補碼：**由[X]補求[-X]補** **帶符號位一起取反，然後末位加一** 如求我們**已知+127的補碼求-127的補碼**： - 01111111 - 10000001 ### 移碼 移碼通常用於表示浮點數的階碼。由於階碼是k位的整數，假設定點整數移碼形式為$e_ke_{k-1}...e_2e_1e_0$最高位為符號位是。移碼的傳統定義是： $[e]_移=2^k+e$ 上式中，e為真值，$2^k$為固定的偏移值常數。 **與[x]補的區別：符號位相反** | 真值 | 補碼 | 移碼 | | ---- | ------ | ------- | | -8 | 1000 | 0000 | | -7 | 1001 | 0001 | | -6 | 1002 | 0002 | | …… | ...... | ...... | | 0 | 0000 | 1000 | | +1 | 0001 | 1001 | | …… | ...... | ....... | | +7 | 0111 | 1111 | #### 移碼的表示 移碼錶示的機器數為數的真值在數軸上向右平移了 固定的偏移值。 如八位移碼：  #### 移碼的特點 - 在移碼中，最高位為0表示負數，最高位為1表示正數，這與**原 碼、補碼、反碼的符號位取值正好相反**。 - 移碼為全0時所對應的真值最小，為全1時所對應的真值最大！ 因此，**移碼的大小直觀地反映了真值的大小，這將有助於兩個 浮點數進行階碼大小比較**。 - 真值0在移碼中的表示形式是**唯一**的，即：**[+0]移= [0]移= 100…00** - 移碼**把真值對映到一個正數域**，所以可將移碼視為無符號數， 直接按無符號數規則比較大小。 - 同一數值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。 ### 原碼、反碼、補碼、移碼 取值範圍的一個比較 ![](https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9jZG4uanNkZWxpdnIubmV0L2doL2MxYXRhL2ltZ2JlZDIwMjAvaW1nLyVFNyVBNyVCQiVFNyVBMCU4MSVFNSU4RiU4RCVFNyVBMCU4MSVFNSU4RSU5RiVFNyVBMCU4MSVFOCVBMSVBNSVFNyVBMCU4MS5qcGc?x-oss-process=image/form