最短Hamilton路徑
摘要：
NP Hard問題，暴力時間複雜度$O(n*n!)$
這題正解其實是利用狀壓DP的方法來做，狀態轉移方程為
dp[i][j] = min{dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + map[k][j]}
其中map陣列為權值，map[k][j]...
NP Hard問題，暴力時間複雜度$O(n*n!)$
這題正解其實是利用狀壓DP的方法來做，狀態轉移方程為
dp[i][j] = min{dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + map[k][j]}
其中map陣列為權值，map[k][j]是點k到點j的權值
dp[i][j]表示當前已經走過點的集合為i，移動到j。所以這個狀態轉移方程就是找一箇中間點k，將已經走過點的集合i中去除掉j（表示j不在經過的點的集合中），然後再加上從k到j的權值
問題在於如何表達已經走過點的集合i，其實很簡單，假如走過0,1,4這三個點，我們用二進位制10011就可以表示，2,3沒走過所以是0
那麼走過點的集合i中去除掉點j也很容易表示 i - (1 << j) ，比方說i是{0,1,4}，j是1，那麼 i = 10011 ， (1 << j) = 10 ， i - (1 << j) = 10001
那麼問題的答案就應該是dp[01....111][n-1]，表示0~n-1都走過，且當前移動到n-1這個點
分析一下時間複雜度，n為20的時候，外層迴圈(1<<20)，內層迴圈20，所以整體時間複雜度$O(20*2^{20})$，這比$O(n*n!)$快多了
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int[][] dp = new int[1 << 20][20];
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n = cin.nextInt();
int[][] map = new int[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
map[i][j] = cin.nextInt();
for (int i = 0; i < (1 << n); i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE >> 1;
dp[1][0] = 0;
for (int i = 0; i < (1 << n); i++) // 二進位制列舉走過的點的集合
for(int j = 0; j < n; j++)
if ((i >> j & 1) == 1)
for (int k = 0; k < n; k++)
if ((i - (1 << j) >> k & 1) == 1)
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + map[j][k]);
System.out.println(dp[(1 << n) - 1][n - 1]);
}
}