階乘、快速冪與斐波那契數列

今天看《計算機程式的構造和解釋》第一章，裡面提到了快速冪和斐波那契數列的快速演算法。感覺還挺巧妙的，做一點筆記。

階乘

通常我們求 ，需要進行n次迭代，也就是說方法的時間複雜度為 ，如果使用的是遞迴的演算法

#階乘的遞迴演算法
(define (factorial n)
(if(= n 1)
1
(* n (factorial (- n 1))))

那麼該演算法的空間複雜度為

，因為在每一次迭代都需要儲存相應的值等待遞迴的數值進行計算。

如果使用的是迭代的方法

#階乘的迭代演算法
(define (factorial n)
(fact-tier 1 1 n)#呼叫fact-iter方法
 (define （fact-tier product counter max-count)
(if(> counter max-count)
product
(fact-tier (* counter product) #目前的階乘值
(+ counter 1)#目前的迭代輪數
(max-counter))) #目標迭代輪數

這樣的話，迭代方法在時間複雜度依然為 的情況下，把空間複雜度降到了 也就是說只需要常數大小的空間即可完成演算法。

快速冪

對於冪函式，我們也可以用以上兩種方法進行計算，是時間複雜度和空間複雜度也和階乘的相應演算法一致。但是如果使用快速冪的方法，可以使得時間複雜度從 減小到

。

計算x的n次冪 ,如果n為偶數顯然有 也就是說我們僅需要計算其n/2冪，然後平方即可，如果n為奇數可以寫成 ，該方法可以迭代的進行，例如對 ，僅需計算

，兩輪迭代就可以得到結果。而通常的演算法需要進行16輪計算。可以大大降低計算所需時間。

斐波那契數列的快速演算法

斐波那契數列是非常有名的一個數列，因為在兔子繁殖的例子中被使用，也有時被叫做兔子數列

簡單的描述斐波那契數列：

如果我們需要計算第n個斐波那契數，如果使用比較直觀的遞迴演算法，也就是上面描述的這樣，那麼演算法的時間複雜度達到了 ，空間複雜度達到了

，因為對於每一個分支都需要獨立的進行一次計算。

顯然如果使用迭代的方法，從第一個數開始依次計算出第n個數，會大大提高演算法的效率，每個數都只需要計算一次因而時間複雜度和空間複雜度分別為

.

那麼有沒有更快的方法進行斐波那契數的求解呢。

在這裡利用矩陣迭代可以加快這個速度，具體實現依據以下舉證的點乘：

注意到這裡出現了矩陣的冪，那麼我們就可以想到上面提到過的快速冪，從而實現

複雜度的演算法。