小朋友學資料結構（17）：廣度優先遍歷

摘要： 觀察下面兩個無向圖： 1.png 這兩個圖其實是一樣的，只是畫法不同罷了。第一張圖更有立體感，第二張圖更有層次感，並且把A點置為頂點（事實上圖的任何一點都可以做為頂點）。 一、用陣列來存放頂點 vexs[0] = ‘A’ vexs[1] ...

觀察下面兩個無向圖：

這兩個圖其實是一樣的，只是畫法不同罷了。第一張圖更有立體感，第二張圖更有層次感，並且把A點置為頂點（事實上圖的任何一點都可以做為頂點）。

一、用陣列來存放頂點

vexs[0] = ‘A’
vexs[1] = ‘B’
vexs[2] = ‘C’
vexs[3] = ‘D’
vexs[4] = ‘E’
vexs[5] = ‘F’
vexs[6] = ‘G’
vexs[7] = ‘H’
vexs[8] = ‘I’

二、用鄰接矩陣來表示邊

上面這個矩陣中，0表示每個頂點沒有到達自己的路徑。1表示兩個頂點之間有路徑，無窮大表示兩個頂點之間沒有路徑。

假如按照程式計數習慣，行或列都從0數起。

第0行第0列為0，表示A到它本身之間沒有路徑（這是人為規定的，因為A到它自身不需要路徑）。

第0行第1列為1，表示頂點A和B之間有路徑。

第0行第5列為1，表示頂點A和頂點F之間有路徑。

第0行其他列為無窮大，表示A到其它點之間沒有路徑。

……

因為是無向圖，鄰接矩陣必然有兩個特點：

① 對角線（左上角到右下角）上的元素值全為0.表示每個點到它自身沒有（或不需要）路徑。

② 其它的元素關於對角線對稱。

如果不同的頂點之間沒有路徑，也是用0來表示，則鄰接矩陣為

上面的鄰接矩陣，在程式設計時可以用二維陣列來實現：

arc[0][1] = arc[1][0] = 1;
 arc[0][5] = arc[5][0] = 1;

 arc[1][2] = arc[2][1] = 1;
 arc[1][6] = arc[6][1] = 1;
 arc[1][8] = arc[8][1] = 1;

 arc[2][3] = arc[3][2] = 1;
 arc[2][8] = arc[8][2] = 1;

 arc[3][4] = arc[4][3] = 1;
 arc[3][6] = arc[6][3] = 1;
 arc[3][7] = arc[7][3] = 1;
 arc[3][8] = arc[8][3] = 1;

 arc[4][5] = arc[5][4] = 1;
 arc[4][7] = arc[7][4] = 1;

 arc[5][6] = arc[6][5] = 1;

 arc[6][7] = arc[7][6] = 1;

三、廣度優先遍歷

廣度優先遍歷需要藉助於另外的資料結構佇列。當把圖中的頂點放到佇列中時，表示這個頂點被遍歷了（可以把頂點的值打印出來）。

用圖1中的右圖來分析廣度優先遍歷更方便，因為右圖的層次結構更明顯。

起初，把點A放入佇列中，A被遍歷。如上圖中的（1）所示。

接著把隊首元素A出隊，把A的下一層的頂點B和F移進佇列，B和F被遍歷。如上圖中的（2）所示。

隊首元素B出隊，B的下一層頂點C，G，I相繼入隊，C、G和I被遍歷。如上圖中的（3）所示。

隊首元素F出隊，F的下一層頂點E入隊，E被遍歷。如上圖中的（5）所示。

隊首元素C出隊，C的下一層頂點D入隊，D被遍歷。如上圖中的（6）所示。

隊首元素G出隊，G的下一層有兩個頂點：D和H。D已在佇列裡，H入隊，H被遍歷。如上圖中的（4）所示。

隊首元素I出隊，I的下一層頂點D已在佇列裡，沒有新頂點入隊。如上圖中的（7）所示。

隊首元素E出隊，E的下一層頂點D和H都已在佇列裡，沒有新頂點入隊。如上圖中的（8）所示。

隊首元素D出隊，D沒有下一層頂點，所以沒有新頂點入隊。如上圖中的（9）所示。

隊首元素H出隊，H沒有下一層頂點，所以沒有新頂點入隊。此時佇列為空，遍歷結束。

最終，廣度優先遍歷的順序即入佇列（或出佇列）的順序：A B F C G I E D H

四、廣度優先遍歷程式碼實現

#include "stdio.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXVEX 9
#define MAXSIZE 9

typedef int Status;/* Status 是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如 OK 等 */
typedef int Boolean; /* Boolean 是布林型別,其值是 TRUE 或 FALSE */
typedef int EdgeType; /*邊上的權值型別應由使用者定義 */

// 圖的結構
struct Graph
{
char vexs[MAXVEX];// 頂點，字元型別，比如頂點'A'，頂點'B'...
int arc[MAXVEX][MAXVEX];// 邊或路徑，0表示兩個頂點之間沒有路徑，1表示兩個頂點之間有路徑
int vexNum;// 頂點數量
int arcNum;// 邊（路徑）的數量
};

/*用到的佇列結構與函式********************************** */
/*迴圈佇列的順序儲存結構 */
typedef struct
{
int data[MAXSIZE];
int front;/* 頭位置標識，相當於頭指標 */
int rear;/* 尾位置標識，相當於尾指標。若佇列不為空，指向佇列尾元素的下一個位置 */
}Queue;

/*初始化一個空佇列 Q */
void InitQueue(Queue *Q)
{
Q->front = 0;
Q->rear = 0;
}

/*若佇列 Q 為空佇列,則返回 TRUE,否則返回 FALSE
這裡只判斷佇列是否為空，而不改變佇列的結構，所以引數不需用指標*/
Status QueueEmpty(Queue Q)
{
if(Q.front == Q.rear) /*佇列空的標誌 */
{
return TRUE;
}

return FALSE;
}

/*若佇列未滿，則插入元素 e 為 Q 新的隊尾元素 */
Status EnQueue(Queue *Q, int e)
{
if ((Q->rear + 1) % MAXSIZE == Q->front)/*佇列滿的判斷 */
{
return ERROR;
}

Q->data[Q->rear] = e; /*將元素 e 賦值給隊尾 */
Q->rear = (Q->rear + 1) % MAXSIZE;/* rear 指標向後移一位置，若到最後則轉到陣列頭部 */

return OK;
}

/*若佇列不為空，則刪除 Q 中隊頭元素，用e返回其值 */
Status DeQueue(Queue *Q, int *e)
{
if (Q->front == Q->rear)/*佇列空的判斷 */
{
return ERROR;
}

*e = Q->data[Q->front];/*將隊頭元素賦值給 e */
Q->front = (Q->front + 1) % MAXSIZE; /* front 指標向後移一位置，若到最後則轉到陣列頭部 */

return OK;
}

void CreateGraph(Graph *G)
{
G->arcNum = 15;
G->vexNum = 9;

//讀入頂點資訊，放到數組裡
G->vexs[0] = 'A';
G->vexs[1] = 'B';
G->vexs[2] = 'C';
G->vexs[3] = 'D';
G->vexs[4] = 'E';
G->vexs[5] = 'F';
G->vexs[6] = 'G';
G->vexs[7] = 'H';
G->vexs[8] = 'I';

int i, j;
for(i = 0; i < G->vexNum; i++)/*初始化圖 */
{
for (j = 0; j < G->vexNum; j++)
{
G->arc[i][j] = 0;
}
}

G->arc[0][1] = 1;
G->arc[0][5] = 1;

G->arc[1][2] = 1;
G->arc[1][6] = 1;
G->arc[1][8] = 1;

G->arc[2][3] = 1;
G->arc[2][8] = 1;

G->arc[3][4] = 1;
G->arc[3][6] = 1;
G->arc[3][7] = 1;
G->arc[3][8] = 1;

G->arc[4][5] = 1;
G->arc[4][7] = 1;

G->arc[5][6] = 1;

G->arc[6][7] = 1;

for(i = 0; i < G->vexNum; i++)
{
for(j = i; j < G->vexNum; j++)
{
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
}
}

Boolean visited[MAXVEX]; /*訪問標誌的陣列 */

/*鄰接矩陣的廣度遍歷演算法 */
void BFSTraverse(Graph G)
{
int i, j;
Queue Q;

for(i = 0; i < G.vexNum; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}

InitQueue(&Q);/*初始化一輔助用的佇列 */

for(i = 0; i < G.vexNum; i++)/*對每一個頂點做迴圈 */
{
if (!visited[i])/*若是未訪問過就處理 */
{
visited[i] = TRUE;/*設定當前頂點訪問過 */
printf("%c ", G.vexs[i]);/*列印頂點，也可以其它操作 */
EnQueue(&Q, i);/*將此頂點入佇列 */

while(!QueueEmpty(Q)) /*若當前佇列不為空 */
{
DeQueue(&Q, &i);/*將隊對元素出佇列，賦值給 i */
for(j = 0; j < G.vexNum; j++)
{
/*判斷其它頂點若與當前頂點存在邊且未訪問過*/
if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
{
visited[j] = TRUE;/*將找到的此頂點標記為已訪問*/
printf("%c ", G.vexs[j]);/*列印頂點 */
EnQueue(&Q, j);/*將找到的此頂點入佇列*/
}
}
}//while
}
}//for
}


int main(void)
{
Graph graph;
CreateGraph(&graph);

printf("廣度遍歷：");
BFSTraverse(graph);

return 0;
}

執行結果：

廣度遍歷：A B F C G I E D H