小朋友學資料結構（16）：基於鄰接矩陣的的深度優先遍歷和廣度優先遍歷

摘要： 觀察下面兩個無向圖： 1.png 這兩個圖其實是一樣的，只是畫法不同罷了。第一張圖更有立體感，第二張圖更有層次感，並且把A點置為頂點（事實上圖的任何一點都可以做為頂點）。 一、用陣列來存放頂點 vexs[0] = ‘A’ vexs[1] ...

觀察下面兩個無向圖：

這兩個圖其實是一樣的，只是畫法不同罷了。第一張圖更有立體感，第二張圖更有層次感，並且把A點置為頂點（事實上圖的任何一點都可以做為頂點）。

一、用陣列來存放頂點

vexs[0] = ‘A’
vexs[1] = ‘B’
vexs[2] = ‘C’
vexs[3] = ‘D’
vexs[4] = ‘E’
vexs[5] = ‘F’
vexs[6] = ‘G’
vexs[7] = ‘H’
vexs[8] = ‘I’

二、用鄰接矩陣來表示邊

上面這個矩陣中，0表示每個頂點沒有到達自己的路徑。1表示兩個頂點之間有路徑，無窮大表示兩個頂點之間沒有路徑。

假如按照程式計數習慣，行或列都從0數起。

第0行第0列為0，表示A到它本身之間沒有路徑（這是人為規定的，因為A到它自身不需要路徑）。

第0行第1列為1，表示頂點A和B之間有路徑。

第0行第5列為1，表示頂點A和頂點F之間有路徑。

第0行其他列為無窮大，表示A到其它點之間沒有路徑。

……

因為是無向圖，鄰接矩陣必然有兩個特點：

① 對角線（左上角到右下角）上的元素值全為0.表示每個點到它自身沒有（或不需要）路徑。

② 其它的元素關於對角線對稱。

上面的鄰接矩陣，在程式設計時可以用二維陣列來實現：

arc[0][1] = arc[1][0] = 1;
 arc[0][5] = arc[5][0] =1;

 arc[1][2] = arc[2][1] = 1;
 arc[1][6] = arc[6][1] = 1;
 arc[1][8] = arc[8][1] = 1;

 arc[2][3] = arc[3][2] = 1;
 arc[2][8] = arc[8][2] = 1;

 arc[3][4] = arc[4][3] = 1;
 arc[3][6] = arc[6][3] = 1;
 arc[3][7] = arc[7][3] = 1;
 arc[3][8] = arc[8][3] = 1;

 arc[4][5] = arc[5][4] = 1;
 arc[4][7] = arc[7][4] = 1;

 arc[5][6] = arc[6][5] = 1;

 arc[6][7] = arc[7][6] = 1;

三、深度優先遍歷

可以使用遞迴的方法進行深度遍歷。

觀察圖（1）中的左圖，假如從頂點A開始，從A找到相鄰的B，從B找到相鄰的C，從C找到相鄰的D，從D找到相鄰的E，從E找到鄰接點F，從F找到相鄰的G，從G找到相鄰的H。

H有三個相鄰的點D、E、G。這三個點都已經遍歷過了。所以回退到上一頂點G。

G有三個相鄰的頂點D、F、H。這三個點也都已經遍歷過了。回退到上一頂點F。

F有兩個相鄰的頂點E、G，都已經遍歷過了。回退到上個頂點E。

E點有兩個相鄰的頂點D、F，都已經遍歷過了。回退到上個頂點D。

D點有五個相鄰的頂點C、E、H、G、I。除了I外，其餘四個頂點已經遍歷過了。所以這一次遍歷I。

I遍歷完之後回到D點，從D點回到C點。

C點有三個相鄰的頂點B、D、I，都已經遍歷過了，回退到B點。

B點有四個相鄰的頂點A、C、G、I，都已經遍歷過了，回退到A點。

A點有兩個相鄰的頂點B、F，都已經遍歷過了。遞迴都此結束。

得到深度優先遍歷的順序為：A B C D E F G H I

四、廣度優先遍歷

廣度優先遍歷需要藉助於另外的資料結構佇列。當把圖中的頂點放到佇列中時，表示這個頂點被遍歷了（可以把頂點的值打印出來）。

用圖1中的右圖來分析廣度優先遍歷更方便，因為右圖的層次結構更明顯。

起初，把點A放入佇列中，A被遍歷。如上圖中的（1）所示。

接著把隊首元素A出隊，把A的下一層的頂點B和F移進佇列，B和F被遍歷。如上圖中的（2）所示。

隊首元素B出隊，B的下一層頂點C，G，I相繼入隊，C、G和I被遍歷。如上圖中的（3）所示。

隊首元素F出隊，F的下一層頂點E入隊，E被遍歷。如上圖中的（5）所示。

隊首元素C出隊，C的下一層頂點D入隊，D被遍歷。如上圖中的（6）所示。

隊首元素G出隊，G的下一層有兩個頂點：D和H。D已在佇列裡，H入隊，H被遍歷。如上圖中的（4）所示。

隊首元素I出隊，I的下一層頂點D已在佇列裡，沒有新頂點入隊。如上圖中的（7）所示。

隊首元素E出隊，E的下一層頂點D和H都已在佇列裡，沒有新頂點入隊。如上圖中的（8）所示。

隊首元素D出隊，D沒有下一層頂點，所以沒有新頂點入隊。如上圖中的（9）所示。

隊首元素H出隊，H沒有下一層頂點，所以沒有新頂點入隊。此時佇列為空，遍歷結束。

最終，廣度優先遍歷的順序即入佇列（或出佇列）的順序：A B F C G I E D H

五、完整程式碼

#include "stdio.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 9 /*儲存空間初始分配量 */
#define MAXEDGE 15
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535


typedef int Status;/* Status 是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如 OK 等 */
typedef int Boolean; /* Boolean 是布林型別,其值是 TRUE 或 FALSE */
typedef char VertexType; /*頂點型別應由使用者定義 */
typedef int EdgeType; /*邊上的權值型別應由使用者定義 */


typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; /*頂點表 */
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/*鄰接矩陣，可看作邊表 */
int numVertexes, numEdges; /*圖中當前的頂點數和邊數 */
}MGraph;


/*用到的佇列結構與函式********************************** */
/*迴圈佇列的順序儲存結構 */
typedef struct
{
int data[MAXSIZE];
int front;/* 頭位置標識，相當於頭指標 */
int rear;/* 尾位置標識，相當於尾指標。若佇列不為空，指向佇列尾元素的下一個位置 */
}Queue;


/*初始化一個空佇列 Q */
Status InitQueue(Queue *Q)
{
Q->front=0;
Q->rear=0;

returnOK;
}


/*若佇列 Q 為空佇列,則返回 TRUE,否則返回 FALSE */
Status QueueEmpty(Queue Q)
{
if(Q.front==Q.rear) /*佇列空的標誌 */
return TRUE;
else
return FALSE;
}


/*若佇列未滿，則插入元素 e 為 Q 新的隊尾元素 */
Status EnQueue(Queue *Q,int e)
{
if ((Q->rear+1)%MAXSIZE == Q->front)/*佇列滿的判斷 */
return ERROR;

Q->data[Q->rear]=e; /*將元素 e 賦值給隊尾 */
Q->rear=(Q->rear+1)%MAXSIZE;/* rear 指標向後移一位置，若到最後則轉到陣列頭部 */

returnOK;
}


/*若佇列不為空，則刪除 Q 中隊頭元素，用e返回其值 */
Status DeQueue(Queue *Q,int *e)
{
if (Q->front == Q->rear)/*佇列空的判斷 */
return ERROR;

*e=Q->data[Q->front];/*將隊頭元素賦值給 e */
Q->front=(Q->front+1)%MAXSIZE; /* front 指標向後移一位置，若到最後則轉到陣列頭部 */

returnOK;
}


void CreateMGraph(MGraph *G)
{
int i, j;

G->numEdges=15;
G->numVertexes=9;

/*讀入頂點資訊，建立頂點表 */
G->vexs[0]='A';
G->vexs[1]='B';
G->vexs[2]='C';
G->vexs[3]='D';
G->vexs[4]='E';
G->vexs[5]='F';
G->vexs[6]='G';
G->vexs[7]='H';
G->vexs[8]='I';

for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/*初始化圖 */
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[i][j]=0;
}
}

G->arc[0][1]=1;
G->arc[0][5]=1;

G->arc[1][2]=1;
G->arc[1][6]=1;
G->arc[1][8]=1;

G->arc[2][3]=1;
G->arc[2][8]=1;

G->arc[3][4]=1;
G->arc[3][6]=1;
G->arc[3][7]=1;
G->arc[3][8]=1;

G->arc[4][5]=1;
G->arc[4][7]=1;

G->arc[5][6]=1;

G->arc[6][7]=1;

for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
}
}
}

Boolean visited[MAXVEX]; /*訪問標誌的陣列 */

/*鄰接矩陣的深度優先遞迴演算法 */
void DFS(MGraph G, int i)
{
int j;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", G.vexs[i]);/*列印頂點，也可以其它操作 */

for(j = 0; j < G.numVertexes; j++)
if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
DFS(G, j);/*對未訪問的鄰接頂點遞迴呼叫 */
}


/*鄰接矩陣的深度遍歷演算法 */
void DFSTraverse(MGraph G)
{
int i;
for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
visited[i] = FALSE; /*初始所有頂點狀態都是未訪問過狀態 */

for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
if(!visited[i]) /*對未訪問過的頂點呼叫 DFS，若是連通圖，只會執行一次 */
DFS(G, i);
}


/*鄰接矩陣的廣度遍歷演算法 */
void BFSTraverse(MGraph G)
{
int i, j;
Queue Q;

for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
visited[i] = FALSE;

InitQueue(&Q);/*初始化一輔助用的佇列 */

for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)/*對每一個頂點做迴圈 */
{
if (!visited[i])/*若是未訪問過就處理 */
{
visited[i]=TRUE;/*設定當前頂點訪問過 */
printf("%c ", G.vexs[i]);/*列印頂點，也可以其它操作 */
EnQueue(&Q,i);/*將此頂點入佇列 */

while(!QueueEmpty(Q)) /*若當前佇列不為空 */
{
DeQueue(&Q,&i);/*將隊對元素出佇列，賦值給 i */
for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
{
/*判斷其它頂點若與當前頂點存在邊且未訪問過*/
if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
{
visited[j]=TRUE;/*將找到的此頂點標記為已訪問*/
printf("%c ", G.vexs[j]);/*列印頂點 */
EnQueue(&Q,j);/*將找到的此頂點入佇列*/
}
}
}
}
}
}


int main(void)
{
MGraph G;
CreateMGraph(&G);

printf("\n 深度遍歷：");
DFSTraverse(G);

printf("\n 廣度遍歷：");
BFSTraverse(G);

return 0;
}

執行結果：

深度遍歷：A B C D E F G H I
廣度遍歷：A B F C G I E D H