BZOJ 4541: [Hnoi2016]礦區 平面圖轉對偶圖+DFS樹
4541: [Hnoi2016]礦區
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Description
平面上的礦區劃分成了若幹個開發區域。簡單地說，你可以將礦區看成一張連通的平面圖，平面圖劃分為了若
幹平面塊，每個平面塊即為一個開發區域，平面塊之間的邊界必定由若幹整點(坐標值為整數的點)和連接這些整點
的線段組成。每個開發區域的礦量與該開發區域的面積有關：具體而言，面積為s的開發區域的礦量為 s^2。現在
有 m 個開采計劃。每個開采計劃都指定了一個由若幹開發區域組成的多邊形，一個開采計劃的優先度被規定為礦
/(a+b)。由於平面圖是按照劃分開發區域邊界的點和邊給出的，因此每個開采計劃也只說明了其指定多邊形的邊界
，並未詳細指明是哪些開發區域（但很明顯，只要給出了多邊形的邊界就可以求出是些開發區域）。你的任務是求
出每個開采計劃的優先度。為了避免精度問題，你的答案必須按照分數的格式輸出，即求出分子和分母，且必須是
最簡形式（分子和分母都為整數，而且都消除了最大公約數；例如，若礦量總和是 1.5，面積和是2，那麽分子應
為3，分母應為4；又如，若礦量和是 2，面積和是 4，那麽分子應為 1，分母應為 2）。由於某些原因，你必須依
的加密方式見輸入格式。
Input
第一行三個正整數 n,m,k，分別描述平面圖中的點和邊，以及開采計劃的個數。接下來n行，第 i行(i=1,2,…
,n)有兩個整數x_i, y_i, 表示點i的坐標為(x_i, y_i)。接下來m行，第 i行有兩個正整數a,b，表示點a和b 之間
有一條邊。接下來一行若幹個整數，依次描述每個開采計劃。每個開采計劃的第一個數c指出該開采計劃由開發區
域組成的多邊形邊界上的點的個數為d=(c+P) mod n + 1；接下來d個整數，按逆時針方向描述邊界上的每一個點：
第 1 個開采計劃，P=0。
Output
對於每個開采計劃，輸出一行兩個正整數，分別描述分子和分母。
Sample Input
9 14 50 0
1 0
2 0
0 1
1 1
2 1
0 2
1 2
2 2
1 2
2 3
5 6
7 8
8 9
1 4
4 7
5 8
3 6
6 9
4 8
1 5
2 6
6 8
3 3 0 4 7 1 3 4 6 4 8 0 4 3 6 2 3 8 0 4 6 2 5 0 4 5 7 6 3
Sample Output
1 11 2
1 1
9 10
3 4
HINT
輸入文件給出的9個點和14條邊描述的平面圖如下所示：
第一個開采計劃，輸入的第1個值為3，所以該開采計
劃對應的多邊形有(3+0) mod 8 +1=4個點，將接下的4個數3,0,4,7，分別代入(z_i+0) mod n + 1得到4個點的編號
為4,1,5,8。計算出第一個開采計劃的分子為1，分母為1。類似地，可計算出余下開采計劃的多邊形的點數和點的
編號：第二個開采計劃對應的多邊形有3個點，編號分別為5, 6, 8。第三個開采計劃對應的多邊形有6個點，編號
分別為1, 2, 6, 5, 8, 4。第四個開采計劃對應的多邊形有5個點，編號分別為1, 2, 6, 8, 4。第五個開采計劃對
應的多邊形有6個點，編號分別為1, 5, 6, 8, 7, 4。
對於100%的數據，n, k ≤ 2×10^5, m ≤ 3n-6, |x_i|, |y
_i| ≤ 3×10^4。所有開采計劃的d之和不超過2×10^6。保證任何開采計劃都包含至少一個開發區域，且這些開發
區域構成一個連通塊。保證所有開發區域的礦量和不超過 2^63-1。保證平面圖中沒有多余的點和邊。保證數據合
法。由於輸入數據量較大，建議使用讀入優化。
Source
題意：一個開采計劃優先度為$\frac{\sum S^2(X)}{\sum S(X)}$其中X∈A,S(x)為開發區域的面積。
想法：將原平面圖G轉對偶圖G‘後，一個域被算入的條件就是不與外面的無窮域Rt連通。如果以無窮域為根，DFS遍歷得到的樹T。對於在G‘中與Rt相連的要麽是Rt在T中的兒子，要麽是T中葉子節點。理由：DFS樹沒有橫叉邊。同時因為這個理由，一個開采計劃就一定是樹上一個連通塊。所以只要保證這個連通塊被割下來就好了咯。
具體過程：
1.平面圖G轉對偶圖G’。(不會戳這裏)
2.DFS遍歷圖G‘得到樹T，每個節點維護$S(x)$，$S^2(x)$子樹和
3.回答詢問。對於有向邊(u->v)，先找到其在G‘中對應的上下域(a,b)。如果(a,b)是非樹邊，那麽就可以忽略，畢竟不會影響答案統計。是樹邊，就要分情況累加答案。
先分析一下：假設(u->v)方向的都割掉連通塊與葉子節點通路上的邊，那麽就肯定是減去b的子樹和，反之加上a的子樹和。如果(u->v)的不是，答案便要取反。所以這樣統計是可行的。判斷條件：a是不是b的父親。
總復雜度$O(M\log M+\sum d)$
#include< algorithm>
#include< cmath >
#include< cstdio >
#include< vector >
#define gec getchar
#define FILE(F) freopen(F".in","r",stdin),freopen(F".out","w",stdout)
#define DEBUG fprintf(stderr,"Passing [%s] in Line (%d)\n",__FUNCTION__,__LINE__);
typedef long long ll;
template
inline void read(T&x)
{
x=0;bool f=0;char c=gec();
for(;c<‘0‘||c>‘9‘;c=gec())f=(c==‘-‘);
for(;c>=‘0‘&&c<=‘9‘;c=gec())x=x*10+c-‘0‘;
x=f?-x:x;
}
const int MAXN(200010),MAXM(600010);
int n,m,k,a,b;ll P,Q;
struct Coor
{
int x,y;
Coor(){};
Coor(int a,int b):x(a),y(b){};
inline Coor operator +(const Coor&A){return Coor(x+A.x,y+A.y);}
inline Coor operator -(const Coor&A){return Coor(x-A.x,y-A.y);}
inline Coor operator *(const double k){return Coor(k*x,k*y);}
inline Coor operator /(const double k){return Coor(x/k,y/k);}
}PA[MAXN];
ll acorss(Coor A,Coor B)
{return (ll)A.x*B.y-(ll)A.y*B.x;}
ll dot(Coor A,Coor B)
{return (ll)A.x*B.x+(ll)A.y*B.y;}
//===================================================計算幾何
struct Next
{
int u,v,id;double ang;
Next(){}
Next(int a,int b,int k)
{u=a; v=b; id=k; ang=atan2(PA[u].x-PA[v].x,PA[u].y-PA[v].y);}
inline bool operator <(const Next &A)const {return ang<A.ang;}
}e[MAXM<<1];
std::vectorEdge[MAXN];
int cnt=1,Nex[MAXM<<1],col[MAXM<<1];bool flag[MAXM<<1];
int etot,rt;ll S[MAXN<<1],Sp[MAXN<<1];
struct Node{int nd,nx;}bot[MAXM<<1];
int tot=1,first[MAXN<<1],fa[MAXN<<1];bool vis[MAXN<<1];//F-E+V=2
void add(int a,int b)
{bot[++tot]=(Node){b,first[a]};first[a]=tot;}
namespace planar_graph
{
int Two_Find(int num,Next &x)
{
int l=0,r=Edge[num].size()-1,mid,Ans;
for(;l<=r;)if(x<Edge[num][mid=(l+r)>>1])r=mid-1;else l=mid+1,Ans=mid;
return Ans;
}
void Get_planar()
{
for(int i=2;i<=cnt;i++)
if(!col[i])
{
int now=i;col[i]=++etot;ll tmp_s=0;
for(;;)
{
now=Nex[now];col[now]=etot;
if(e[now].v==e[i].u)break;//成環
tmp_s+=acorss(PA[e[now].v]-PA[e[i].u],PA[e[now].u]-PA[e[i].u]);
}
S[etot]=tmp_s;
if(tmp_s<=0)rt=etot;//無窮域
}
for(int i=2;i<=cnt;i++)
add(col[i],col[i^1]);//相鄰域連邊
}
void build()
{
for(int i=1;i<=m;i++)
{
read(a);read(b);
++cnt;e[cnt]=Next(a,b,cnt);
Edge[a].push_back(e[cnt]);
++cnt;e[cnt]=Next(b,a,cnt);
Edge[b].push_back(e[cnt]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
std::sort(Edge[i].begin(),Edge[i].end());
for(int i=2;i<=cnt;i++)
{
Nex[i]=Two_Find(e[i].v,e[i^1])-1;
if(Nex[i]<0)Nex[i]=Edge[e[i].v].size()-1;
Nex[i]=Edge[e[i].v][Nex[i]].id;
}//找下一條邊
Get_planar();
}
}
//===================================================平面圖轉對偶圖
namespace WW_HASH
{
const int MP(980321),HM(233333);
int nx[MAXM<<1],head[MP];
void build_HASH()
{
for(int i=2,v;i<=cnt;i++)
{
v=((ll)e[i].u*HM%MP+e[i].v)%MP;
nx[i]=head[v];head[v]=i;
}
}
int Find(int a,int b)
{
int v=((ll)a*HM%MP+b)%MP;
for(v=head[v];v;v=nx[v])
if(e[v].u==a&&e[v].v==b)return v;
exit(0);//不存在的
}
}
void Dfs(int x)
{
vis[x]=1; Sp[x]=S[x]*S[x]; S[x]<<=1;
for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
if(!vis[bot[v].nd])
{
fa[bot[v].nd]=x;
flag[v]=flag[v^1]=1;
Dfs(bot[v].nd);
S[x]+=S[bot[v].nd];
Sp[x]+=Sp[bot[v].nd];
}
}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
const int SUMD(2000010);
int d,z[SUMD];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
FILE("C");
#endif
read(n);read(m);read(k);
for(int i=1;i<=n;i++)
read(PA[i].x),read(PA[i].y);
planar_graph::build();
WW_HASH::build_HASH(); Dfs(rt);
// DEBUG;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
read(d);d=(d+P)%n +1;
for(int j=1;j<=d;j++)
read(z[j]),z[j]=(z[j]+P)%n +1;
z[0]=z[d];
P=Q=0;
for(int j=1,id;j<=d;j++)
{
id=WW_HASH::Find(z[j-1],z[j]);
// fprintf(stderr,"id:%d\n",id);
if(!flag[id])continue;//非樹邊
if(fa[col[id]]==col[id^1])
P-=Sp[col[id]],Q-=S[col[id]]; else
P+=Sp[col[id^1]],Q+=S[col[id^1]];
// fprintf(stderr,"%lld %lld\n",P,Q);
}
if(P<0)P=-P,Q=-Q;
// DEBUG;
// fprintf(stderr,"%lld %lld\n",P,Q);
ll g=gcd(P,Q);P/=g;Q/=g;
printf("%lld %lld\n",P,Q);
}
//DEBUG;
return 0;
}
BZOJ 4541: [Hnoi2016]礦區 平面圖轉對偶圖+DFS樹