題面

BZOJ
洛谷

題解

這題用最小割可以直接做

今天再學習了一下平面圖轉對偶圖的做法

大致的思路如下：
1.將源點到匯點中再補一條不與任何線段有交點的邊。這條邊把外側無限大的區域劃分為了兩部分，一部分為S$S$面，另外一部分為T$T$面。
2.平面圖的任何一條邊一定只與兩個面相連，將這兩個邊相連，權值為邊的邊權

此時S−>T$S->T$的最短路就是原來平面圖中的最小割

偽證如下：
如果在對偶圖上走了一條邊，必定將原圖中的一條邊給割開
考慮一條S−>T$S->T$的路徑，
一定沿著S$S$平面割開了若干平面，使得S$S$平面與T$T$平面相連
因此，一條路徑是原圖中的一個割
割的大小就是路徑的長度
因此，最小割就是對偶圖上的最短路

程式碼如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
 

#define MAX 2222222
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[6666666];
int
 
 h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >Q;
pair<int,int> u;
int dis[MAX],T;
bool vis[MAX];
int Dijkstra(int S)
{
    Q.push(make_pair(0,S));
    while(!Q.empty())
    {
        u=Q.top();Q.pop();
        if(vis[u.second])continue;
        dis[u.second]=u.first;vis[u.second]=true;
        for(int i=h[u.second];i;i=e[i].next)
            if(!vis[e[i].v])Q.push(make_pair(u.first+e[i].w,e[i].v));
    }
    return dis[T];
}
int p[2222][1111],tot;
int n,m,S;
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n+n-2;++i)
        for(int j=1;j<m;++j)
            p[i][j]=++tot;
    T=tot+1;
    for(int i=1,id=1;i<=n;++i,id+=2)
        for(int j=1;j<m;++j)
        {
            int w=read(),u=S,v=T;
            if(i!=1)v=p[id-1][j];
            if(i!=n)u=p[id][j];
            Add(u,v,w);Add(v,u,w);
        }
    for(int i=1,id=1;i<n;++i,id+=2)
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            int w=read(),u=S,v=T;
            if(j!=1)u=p[id][j-1];
            if(j!=m)v=p[id+1][j];
            Add(u,v,w);Add(v,u,w);
        }
    for(int i=1,id=1;i<n;++i,id+=2)
        for(int j=1;j<m;++j)
        {
            int w=read(),u=p[id][j],v=p[id+1][j];
            Add(u,v,w);Add(v,u,w);
        }
    printf("%d\n",Dijkstra(0));
    return 0;
}