2016級算法第三次上機-C.AlvinZH的奇幻猜想——三次方
905 AlvinZH的奇幻猜想——三次方
思路
中等題。題意簡單，題目說得簡單，把一個數分成多個立方數的和，問最小立方數個數。
腦子轉得快的馬上想到貪心，從最近的三次方數往下減，反正有1^3在最後撐著保證減完。不好意思這是錯的，因為1,27,64,125...等立方數之間並不是倍數關系，不能構成貪心策略。舉個反例：96=64+8+8+8+8=64+27+1+1+1+1+1，答案明顯是5，而貪心會算到7。
既然不是貪心，那就是DP了，沒毛病。先講一下常規做法吧，是這樣想的：相當於把一個數化成幾份，求最小劃分的份數，那麽把所求數看成背包的總體積，每個立方數的值看作每個物品的體積，價值都看做1，問題就轉化為完全背包（因為每個立方數可以取多次）恰好裝滿求最小的價值，仔細想想。
所以，套一下完全背包的板子吧，但是，這裏的一個問題是完全背包裝滿，這怎麽辦呢（可能由於本題可以保證裝滿這個問題不怎麽顯眼）。舉一反三，假設有可能裝不滿，怎麽辦？這個問題初始化dp數組時就可以解決。以下方法對於01背包同樣適用：
- 普通01背包or完全背包：初始化為0；
- 01背包or完全背包裝滿求價值最小：初始化為一個大數值如 \(INF\) (0x3f3f3f3f)；
- 01背包or完全背包裝滿求價值最大：初始化為一個小數值如 \(-INF\) (-0x3f3f3f3f)；
為什麽呢？對於本題，初始化為大數值，如果沒裝滿，最後dp[n]會依然是INF，因為我們每次比較取的都是較小值。第二次練習賽的G題就是01背包裝滿求最大價值，初始化為最小值即可。（熬夜寫了這麽多，希望大家看得到QAQ）
這題還有另外的解法，那就是類似打表，先把所有數的最小立方個數通過叠代計算得到，然後 \(O(1)\) 時間取得答案。具體可見隊列叠代的參考代碼二以及for循環叠代的參考代碼三。其實這裏面也是有DP的思想，因為每次叠代會用到之前的結果，對於多組數據來講，同樣可以節省時間。簡單易懂，可以學習一下。
分析
對於完全背包直接解法，時間復雜度為 \(O(V*∑(V/wi))\) 。
叠代的話復雜度差不了多少，由於多組數據的原因，叠代打表運行總時間顯得更短些，不糾結這個。
擴展：完全背包裝滿問題：HDU 1114。
參考代碼一：完全背包裝滿求最小價值
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// Created by AlvinZH on 2017/10/24. 參考代碼二：隊列叠代
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// Created by AlvinZH on 2017/10/24.
// Copyright (c) AlvinZH. All rights reserved.
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MaxSize 1000005
using namespace std;
int weight[105];
int ans[MaxSize];
queue<int> Q;
void init()
{
memset(ans, INF, sizeof(ans));
for (int i = 1; i < 105; ++i)
weight[i] = i * i * i;
for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
ans[weight[i]] = 1;
Q.push(weight[i]);
}
while(!Q.empty())
{
int w = Q.front();
Q.pop();
for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
int num = weight[i] + w;
if(num > 1000000) break;
if(ans[num] < INF) continue;
ans[num] = ans[w] + 1;
Q.push(num);
}
}
}
int main()
{
init();
int n;
while(~scanf("%d", &n))
{
if(ans[n] == n) printf("Oh NO!\n");
else printf("%d\n", ans[n]);
}
}
/*
* 思路：直接寬搜，把最開始的數扔進隊列，反復用隊列中的數去更新沒更新的數就行了，註意數組別越界。
*/參考代碼三：for循環叠代
/*
Author: 曾宥崴(13422)
Result: AC Submission_id: 391756
Created at: Fri Nov 10 2017 18:26:40 GMT+0800 (CST)
Problem: 905 Time: 353 Memory: 6612
*/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int f[1000001],n;
int main()
{
for (int i = 1; i <= 1000000; i++) f[i] = 1000000000;
f[0] = 0;
for (int i = 0; i <= 1000000; i++)
for (int k = 1; i + k * k * k <= 1000000; k++)
f[i+k*k*k] = min(f[i+k*k*k],f[i] + 1);
while (scanf("%d",&n) != EOF)
if (f[n] == n) printf("Oh NO!\n");
else printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}2016級算法第三次上機-C.AlvinZH的奇幻猜想——三次方