想必學完exgcd的各位dalao們都已經明白如何求解同余方程了

今天本蒟蒻只是想講講線性同余方程組的解法供各位大佬批評指錯

我們現在有一些線性同余方程

X=b1 (mod a1)

X=b2 (mod a2)

...

X=bn (mod an)

對於前面第一個方程，我們可以用exgcd求出一個X滿足一式

不妨設X=a1*y1+b1

若存在X滿足二式，則a1*y1+b1=b2 (mod a2)

所以y1=(b2-b1)/a1 (mod a2)

該式有解當且僅當(b2-b1)|gcd(a1,a2)

所以a1y1+a2y2=b2-b1

那麽我們就可以用exgcd求出y1的解，進而求出X

那麽問題來了，一式二式合並後是什麽呢？

我們可以證明在lcm(a1,a2)中有且僅有一個X滿足條件，利用一些初中同余知識就可以，在這裏就不詳細證明了

由此我們得到一個新方程X=X(mod lcm(a1,a2))

用這個方程再和後面的方程合並，for example，anslcm(a1,a2)+a3y3=b3-X

這樣一個一個往下求便可以求出答案

下面是一個裸的模板

#include<cstdio>    
#define ll long long            
ll x,m,M,r,y,z;
ll gcd(ll a,ll b) {return a%b==0 ? b:gcd(b,a%b);} 
void inv(ll a,ll b) {
    if (a%b==0) 
    {z=0; y=1; return;}
    inv(b,a%b);
    ll r=z;
    z=y,y=r-a/b*y;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    x=0; m=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&M,&r);
        ll b=r-x,d=gcd(m,M);
        if (b%d!=0) {
            printf("-1");
            return 0;
        }
        inv(m/d,M/d);
        ll t=b/d*z%(M/d);
        x=x+m*t;
        m*=M/d;
    }
    printf("%lld\n\n",x>0 ? x:x+m);
    return 0;
}
 

解線性同余方程組