知識儲備

擴展歐幾裏得定理
歐幾裏得定理
（未掌握的話請移步擴展歐幾裏得）

正題

設存在\(ax+by=gcd(a,b)\)，求x，y。
我們已經知道了用擴歐求解的方法是遞歸，終止條件是x==1，y==0；

int exgcd( int a, int b, int &x, int &y ) {
    if( b == 0 ) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int tmp = a % b;
    if( tmp > b ) swap( tmp, b );
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ans;
}
 

到b==0時，我們可以得到一組解：（1,0）。
接下來再逐步回帶，求出所有可能的解。具體是為什麽呢？

證明

已知：

• \(ax1+by1=gcd(a,b)\)
• \(bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)\)
• \(a mod b = a-a/b*b\)

可求得：
\(ax1+by1=bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)\)
即
\(ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2=gcd(a,b)\)
化簡得
\(ax1+by1=bx2+ay2-a/b*b*y2=gcd(a,b)\)
所以可證出：
對於每一次遞歸中的x1y1，與上一次遞歸中的x2y2存在如下關系：
\(x1 = y2\)

證明畢，
每次的x和y均存在遞歸關系，所以我們可以在求得一組解後回溯時回帶求出其他解，此時計數即可。

P.S.

對於求方程正整數解的個數的題，需要註意特判
設ax+by=c，給定a，b，c，求x，y的正整數解個數

• x=0，y=0，z=0時，方程無數解
• x=0，y=0，z！=0時，方程無解
• x，y<0，z>0時方程無解，反之亦然

擴展歐幾裏得求解的個數