計算機視覺（二）：直方圖均衡

一、灰度空間的直方圖均衡

1.直方圖
2.變換函式應滿足條件
3.變換函式
4.直方圖均衡

二、彩色空間的直方圖均衡
三、程式碼實現（Python+OpenCV)

1.灰度影象
2.彩色影象

一、灰度空間的直方圖均衡

1.直方圖

灰度級範圍為[0,L-1]的數字影象的直方圖是離散函式 $h$

( r k ) = n k h(r_k)=n_k

h (r_{k}) = n_{k}

，其中

r_k

是第

k

級灰度值，

n_k

是影象中灰度為

r_k

的畫素個數。在實踐中，經常用乘積

MN

表示的影象總畫素除每個分量來歸一化直方圖，通常

M

和

N

是影象的行數和列數。因此，歸一化後的直方圖由

p(r_k)={n_k\over{MN}}

給出，其中

k=0,1,...,L-1

。歸一化直方圖的所有分量之和應等於1。
直觀上，可以得出這樣的結論：若一幅影象的畫素傾向於佔據整個可能的灰度級並且分佈均勻，則該影象會有高對比度的外觀並展示灰色調的較大變換。最終效果將是一幅灰度細節豐富且動態範圍較大的影象。為實現該效果，我們需要一個變換函式，將輸入影象直方圖資訊進行變換，得到均勻分佈的影象。

2.變換函式應滿足條件

考慮連續灰度值，並用變數 $r$ 表示待處理影象的灰度。通常，我們假設 $r$ 的取值區間為[0,L-1]，且 $r = 0$ 表示黑色， $r = L-1$ 表示白色。在 $r$ 滿足這些條件的情況下，我們將注意力集中到變換函式
$s = T(r)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0≤r≤L-1$ 上，對於輸入影象中每個具有 $r$ 值的畫素產生一個輸出灰度值 $s$ 。為了實現變換後的灰度值均勻分佈的效果，變換函式需滿足以下條件：
(a) $T(r)$ 在區間[0,L-1]上為單調遞增函式
(b) 當 $0≤r≤L-1$ 時， $0≤T(r)≤L-1$ ，且 $T(r)$ 均勻分佈
為了能用反函式
$r = T^{-1}(s)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0≤s≤L-1$ 計算原色影象，在這種情況下，條件(a)改為
(a`) $T(r)$ 在區間[0,L-1]上為嚴格單調遞增函式

證明：
(a) 要求 $T(r)$ 單調遞增，可保持原來輸入值大小關係不變，即無論如何對映，較亮區域依然亮，較暗區域依然暗。
(b) 保證輸出灰度值的範圍與輸入灰度值的範圍相同，且變換後的灰度值需均勻分佈。
(a`) 要求 $T(r)$ 嚴格單調遞增，可保證從 $s$ 到 $r$ 的反對映是一對一的，防止出現二義性。

3.變換函式

一幅影象的灰度級可視為區間[0,L-1]內的隨機變數。隨機變數的基本描述子是其概率密度函式(PDF)。令 $p_r(r)$ 和 $p_s(s)$ 分別表示隨機變數 $r$ 和 $s$ 的概率密度函式，其中 $p$ 的下標用於指示 $p_r(r)$ 和 $p_s(s)$ 是不同的函式。
在影象處理中，特別重要的變換函式有如下形式：
$s = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ 式中， $w$ 是積分的假變數。該公式滿足上述條件(a`)(b)。

證明：
公式右邊是隨機變數 $r$ 的累積分佈函式(CDF)。因為PDF總為正，回憶可知一個函式的積分是該函式下方的面積，固該公式為嚴格遞增函式，滿足條件(a`)。
現證明該公式滿足條件(b)：
用微積分換元法，可得：
$p_r(r)dr = p_{T(r)}(T(r)) d(T(r)) = p_s(s)ds$ 即
$p_s(s) = p_r(r)|{{dr}\over{ds}}|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$ 又因為
${{ds}\over{dr}} = {{dT(r)}\over{dr}} = (L-1){d\over{dr}}[\int_0^rp_r(w)dw] = (L-1)p_r(r)\ \ \ \ \ (3)$

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1.直方圖

2.變換函式應滿足條件

3.變換函式

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2.變換函式應滿足條件

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