• 一、濾波器
• 1. 基本濾波公式
• 2. 濾波步驟
• 3. 低通濾波器與高通濾波器
• 二、低通濾波器（平滑影象）
• 1. 理想低通濾波器
• 2. 布特沃斯低通濾波器
• 3. 高斯低通濾波器
• 三、高通濾波器（銳化影象）
• 1. 理想高通濾波器
• 2. 布特沃斯高通濾波器
• 3. 高斯高通濾波器
• 四、程式碼實現（Python+OpenCV)

一、濾波器

1. 基本濾波公式

      頻率域濾波是指先修改一副影象的傅立葉變換，然後計算其反變換，得到處理後的結果。由此，若給定一副大小為 $M\times N$

的數字影象 $f(x, y)$，則基本濾波公式有如下形式：
$g$

( x , y ) = ζ − 1 [ H ( u , v ) F ( u , v ) ] g(x,y) = \zeta^{-1}[H(u,v)F(u,v)] 式中， $\zeta^{-1}$ 是IDEF， $F(u,v)$ 是輸入影象 $f(x,y)$ 的DEF， $H(u,v)$ 是濾波函式（簡稱為濾波器或濾波傳遞函式）， $g(x,y)$ 是濾波後的輸出影象。函式 $F$、 $H$ 和 $g$ 是大小與輸入影象相同的 $M\times N$ 陣列。

2. 濾波步驟

① 選擇濾波器 $H(u,v)$：
      所有的濾波函式 $H(u,v)$ 可理解為大小為 $P\times Q$ 的離散函式，即離散頻率變數的範圍是 $u=0,1,2,...,P-1$ 和 $v=0,1,2,...,Q-1$。
② 填充 $f(x,y)$：
      通常選擇 $P=2M$、 $Q=2N$，並對 $f(x,y)$ 新增必要數量的0，形成大小為 $P\times Q$ 的影象。
③ 求 $f(u,v)$ 的DEF $\rightarrow F(u,v)$
④ 改變 $F(u,v)$ 的原點至中心：
      換位，將 $F(u,v)$ 的低頻部分移到中間，高頻部分移到四周，以便後面的計算。
⑤ 計算 $H(u,v)F(u,v)$
⑥ 改變 $H(u,v)F(u,v)$ 的原點至左上角：
      對 $H(u,v)F(u,v)$ 的結果進行換位，得到初始時影象的DEF的資料排列形式，即低頻部分在四周，高頻部分在中間（原點在左上角意味著低頻部分在左上角，又因為的DEF是中心對稱的，可得初始時影象的DEF應是低頻在四周高頻在中間）。
⑦ 求 $H(u,v)F(u,v)$ 的IDEF $\rightarrow g(x,y)$：
      此時求得的IDEF是一個複數，我們需計算每一個元素的幅度（實部和虛部平方和的平方根），並提取左上角的 $M\times N$ 區域，得到最終的輸出影象 $g(x,y)$。

3. 低通濾波器與高通濾波器

      衰減高頻而通過低頻的濾波器的濾波器稱為低通濾波器，將模糊一副影象。
      衰減低頻而通過高頻的濾波器的濾波器稱為高通濾波器，將銳化一副影象。
      一個高通濾波器 $H_{HP}(u,v)$ 和一個低通濾波器 $H_{LP}(u,v)$ 可以有如下關係：
$H_{HP}(u,v) + H_{LP}(u,v) = 1$也就是說，被低通濾波器衰減的頻率能通過高通濾波器，反之亦然。

二、低通濾波器（平滑影象）

1. 理想低通濾波器

      在以原點為圓心、以 $D_0$ 為半徑的圓內，無衰減地通過所有頻率，而在該圓外“阻斷”所有頻率的二維低通濾波器，稱為理想低通濾波器（ILPE）。它由下面的函式確定：
$H(u,v)= \begin{cases} 1, & \text {$D(u,v)\leq D_0$} \\ 0, & \text{$D(u,v)>D_0$} \end{cases}$式中， $D_0$ 是一個正常數， $D(u,v)$ 是頻率域中點 $(u,v)$ 與頻率矩形中心的距離，即
$D(u,v) = [(u-P/2)^2 + (v-Q/2)^2]^{1\over2}$

相關推薦