Description

有一天， $n$個女孩子一起去托米家的電影院看電影。她們都訂了同一排的票，訂完票後還剩下一些時間，她們就去附近購物了，當她們回來的時候，電影已經開始了。門口檢票的托米讓她們一個接一個找到位置並坐下。

但是，列印電影票的機器壞了。打印出來的座位號不是連續的數字，而是 $1$

當一個女孩走進一排座位時，座位號從 $1$

所以，有些女孩可能會在沒有找到坐下的地方的情況下被排到最後，然後沒有位置坐。

現在給你數字 $n$和 $k$

假設每個女孩的票數都在 $1$到 $k$之間，包括 $1$和 $k$之間的數字。每個數字都是隨機抽取的，並且抽取是獨立的。

當第一個女孩開始尋找她的座位時，也假定整行都是空的。

請你計算至少有一個女孩遭受迎面而來的悲慘命運的概率。

Input

輸入的第一行包含一個整數 $T$，表示指定測試用例的數量。

每個測試用例前面都有一個空白行。

每個測試用例由包含兩個整數 $n$和 $k$的單行組成

$(T\le 100,n,k\le 10)$

Output

對於每個測試用例輸出其概率，用最簡分式表示。

Sample Input

3

1 10

2 3

3 3

Sample Output

0/1
1/9
11/27

Solution

狀壓 $DP$，以 $dp[i][S]$表示 $i$個人，還有 $S$狀態的座位沒有被選，最終至少有一個女孩沒有座位的方案數，列舉第 $i$個女孩的票號 $j$，如果 $S$中第 $j$個位置為 $1$，那麼直接轉移
$dp[i][S]+=dp[i+1][S-2^j]$
如果 $S$中第 $j$個位置為 $0$，那麼考慮第 $j$個位置之後是否還有 $1$，如果沒有 $1$說明第 $i$個女孩沒有座位，剩下 $i-1$個女孩隨便選，直接有轉移
$dp[i][S]+=k^{i-1}$
如果 $j$位置之後有一個位置 $k$為 $1$，那麼第 $i$個女孩只能坐在第 $k$個位置，此時又轉移
$dp[i][S]+=dp[i+1][S-2^k]$
記憶化搜尋即可，答案即為 $\frac{dp[n][2^k-1]}{k^n}$，時間複雜度 $O(n\cdot k\cdot 2^k)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,k;
ll dp[11][(1<<10)+5],f[11];
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll dfs(int n,int S)
{
	if(dp[n][S]!=-1)return dp[n][S];
	if(n==0)return dp[n][S]=0;
	if(S==0)return dp[n][S]=f[n];
	dp[n][S]=0;
	for(int i=0;i<k;i++)
		if(!((S>>i)&1))
		{
			int j=i+1;
			for(;j<k;j++)
				if((S>>j)&1)break;
			if(j<k)dp[n][S]+=dfs(n-1,S^(1<<j));
			else dp[n][S]+=f[n-1];
		}
		else dp[n][S]+=dfs(n-1,S^(1<<i));
	return dp[n][S];
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		f[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]*k;//k^i
		int K=1<<k;
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		ll p=dfs(n,K-1),q=f[n];
		ll g=gcd(p,q);
		printf("%lld/%lld\n",p/g,q/g);
	}
	return 0;
}