《演算法設計與分析》第六週作業

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• 《演算法設計與分析》第六週作業
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• 題目概要
• 思路
• 具體實現
• 心得
• 原始碼：

姓名：李**
學號：16340114
題目：Median of Two Sorted Arrays（https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/description/）

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題目概要

給定兩個有序的數列，找出兩個數列歸併之後的中位數。其實這道題就是“在兩個有序數列中找第k小的數”的特殊情況。

思路

先來解決“在兩個有序數列中找第k小的數”。一種很直觀的思路就是把兩個數列利用歸併排序合起來，直接找中位數。這個方法很簡單，但是演算法複雜度是O(m + n)【數列1長度為m，數列2長度為n】，並不算很快。利用二分查詢的思想可以更快地找到第k小的數。
　　我們先把兩個陣列各分成兩組，並比較兩個陣列中間元素的大小關係，企圖找到第k個數落在四段中的哪一段。可惜現實並沒有這麼理想，好在我們能排除第k個數不在四段中的哪一段。
　　
　　情況1：(m + n) / 2 < k 【說明第k個數在合併後的數列靠後半部分的位置】
　　　　（i）arr1[mid1] < arr2[mid2]
　　　　　　如圖所示：數列1的中間元素小於數列2的中間元素時，數列1的前半部分是絕對在合併數列的前半部分的。下面是比較極端的情況:
　　　　　　(1)數列1的前半部分比數列2的前半部分都小，那這一部分是絕對排在合併數列的最前面的，這樣的話可以將數列1的前半部分砍去。
　　　　　　

　　　　　　(2)數列1的前半部分僅小於數列2的中間元素，即使是這樣數列1的前半部分也只能排在合併數列的前半部分，這部分也可以放心地砍去。
　　　　　　
　　　　　　(3)介於(1)與(2)兩個極端之間的中間情況，這些情況中數列1的前半部分也是可以排除掉的。
　　　　（ii）arr1[mid1] >= arr2[mid2]
　　　　 　　交換arr1與arr2，重複（i）
　　情況2：(m + n) / 2 >= k 【說明第k個數在合併後的數列靠前半部分的位置】
　　和情況1的思路相似，這次是要把兩個數列中的一個的後半部分砍去即可。
　　　　（i）arr1[mid1] < arr2[mid2]
　　　　 　　砍去arr2的後半部分
　　　　（ii）arr1[mid1] >= arr2[mid2]
　　　　 　　交換arr1與arr2，重複（i）

將對砍掉一半的數列與另一數列重複該操作，直到某一個數列完全被砍沒了之後，第k個數自然就浮現了。
　　
得到尋找第k個數的方法後，找中位數就很簡單了。
如果m+n是奇數，只需要找第(m+n)/2個數即可。
如果m+n是偶數，計算第(m+n)/2 - 1個數與第(m+n)/2個數的平均值即可。

具體實現

按照上述思路編寫找第k個數的遞迴函式，basic case為其中一個數列為空，輸出另一數列的第k個元素，遞迴過程按照上述四種情況進行，每次遞迴都通過傳遞vector的begin()和end()迭代器實現切分陣列的效果，迭代的同時根據情況修改k的值(砍掉前半部分就將k減相應的長度，砍後半部分k值不變)。最後呼叫該找第k個元素的函式，找出中位數，完成！演算法複雜度為O(log(m+n))

心得

感覺這個二分查詢比第一週剛看這題時看的那個解法要好懂太多了，果然條條大路通羅馬呀

原始碼：

#define mid1 ( (end1 - nums1) / 2)
#define mid2 ( (end2 - nums2) / 2)

class Solution
{
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
    {
        if ( (nums1.size() + nums2.size()) % 2 == 1 )
            return kthSmallestNum( (nums1.size() + nums2.size()) / 2,
                                    nums1.begin(), nums2.begin(),
                                    nums1.end(), nums2.end() );
        else
            return (double)kthSmallestNum( (nums1.size() + nums2.size()) / 2 - 1,
                                    nums1.begin(), nums2.begin(),
                                    nums1.end(), nums2.end() ) / 2
                    +
                    (double)kthSmallestNum( (nums1.size() + nums2.size()) / 2,
                                    nums1.begin(), nums2.begin(),
                                    nums1.end(), nums2.end() ) / 2;

    }

    int kthSmallestNum(int k, vector<int>::iterator nums1, vector<int>::iterator nums2,
                              vector<int>::iterator end1, vector<int>::iterator end2)
    {
        if (nums1 == end1)
            return *(nums2 + k);
        if (nums2 == end2)
            return *(nums1 + k);

        if (mid1 + mid2 < k)
        {
            //the kth smallest number is in the second half
            if ( *(nums1 + mid1) < *(nums2 + mid2) )
            {
                //cut the first half of nums1
                return kthSmallestNum(k - mid1 - 1, nums1 + mid1 + 1, nums2, end1, end2);
            }
            else
            {
                //cut the first half of nums2
                return kthSmallestNum(k - mid2 - 1, nums1, nums2 + mid2 + 1, end1, end2);
            }
        }
        else
        {
            //the kth smallest number is in the first half
            if ( *(nums1 + mid1) < *(nums2 + mid2) )
            {
                //cut the second half of nums1
                return kthSmallestNum(k, nums1, nums2, end1, nums2 + mid2);
            }
            else
            {
                //cut the second half of nums2
                return kthSmallestNum(k, nums1, nums2, nums1 + mid1, end2);
            }
        }
    }
};