符號表ST（4）——二叉查詢樹刪除 （附動畫）

本系列文章主要介紹常用的演算法和資料結構的知識，記錄的是《Algorithms I/II》課程的內容，採用的是“演算法（第4版）”這本紅寶書作為學習教材的，語言是java。這本書的名氣我不用多說吧？豆瓣評分9.4，我自己也認為是極好的學習演算法的書籍。

通過這系列文章，可以加深對資料結構和基本演算法的理解（個人認為比學校講的清晰多了），並加深對java的理解。

我們之前介紹了二叉查詢樹和它的基本操作，唯獨一個操作沒介紹，就是刪除操作，這裡，我們重點介紹刪除操作。

1 一種偷懶的方式

還記得我們曾經在符號表的介紹中說過的一種刪除方式嗎？

我們可以不刪除，而是把需要刪除的節點的value設為null（這裡我們叫放“墓碑”）。key還是放那裡，還是可以用來比較（但是不能做匹配操作）

但是如果頻繁刪除，符號表裡會有很多“墓碑”，這不利於我們維護我們的符號表。因此我們不考慮這種方式。

2 刪除的一般情況

由於二叉查詢樹的特殊結構，使得它的刪除操作並沒那麼容易，我們還是採用遞迴的方式去做。很容易想到，刪除操作可能會出三種情況：

2.1 被刪除元素沒有孩子

這個比較簡單，直接返回null，就可以讓它的父親節點指向null，然後自己就可以等著被回收就好了。

2.2 被刪除的元素有一個孩子

這個也還好，直接返回自己的另一個孩子，讓自己的父親節點指向自己的另一個孩子，自己坐等被回收。

情形1和2可以用來實現刪除最小值或最大值

 public void deleteMin()
 {  root = deleteMin(root);  }
 private Node deleteMin(Node x)
 {
    if (x.left == null) return x.right;
    x.left = deleteMin(x.left);
    x.count = 1 + size(x.left) + size(x.right);
    return x;
 }

 public void deleteMax()
 {  root = deleteMax(root);  }
 private
 
 Node deleteMax(Node x)
 {
    if (x.right == null) return x.left;
    x.right= deleteMin(x.right);
    x.count = 1 + size(x.left) + size(x.right);
    return x;
 }

2.3 被刪除的元素有兩個孩子

這個是最麻煩的操作，前使用的方案是50年前提出來的Hibbard deletion（50年了，天吶）

找自己右孩子裡面的最小值（最左）然後替換自己和它，然後刪除自己

原理： root的右孩子肯定全大於左孩子，然後它又是右孩子裡面的最小值，所以它做root節點可以滿足左邊比自己小，右邊比自己大的條件。

注意：要同步更新count值

public void delete(Key key)
{
    return delete(root,key);
}
private Node delete(Node x, Key key)
{
    if(x == null) return null;
    /*********找key*************/
    int cmp = key.compareTo(x.key);
    if(cmp > 0)
        x.right = delete(x.right,key);
    if(cmp < 0)
        x.left = delete(x.left,key);
    /**********找到key************/
    else{
    /**********情形1/2************/
        if(x.right == null)   
            return x.left;
        if(x.left == null)   
            return x.right;
    /**********情形3***********/
        Node min = Min(x.right);
        min.right = deleteMin(x.right);
        min.left = x.left;
        return min;
    }
    /**********更新count***********/
    x.count = 1 + size(x.right) + size(x.left);  
}

3 問題

由於刪除操作的特殊性，每次找右孩子替代自己，會導致二叉樹失去平衡，大量隨機測試表明，通過隨機的刪除後的二叉樹深度會退化到N−−√，遠大於log(N)，這樣，所有二叉樹的操作效率的會大打折扣。

所以，看似簡單的問題，卻難有好的解決方案。
50年來二叉的樹的刪除仍然是一個研究方向，大量科學家在尋找一個更直觀有效的刪除策略。就像我們本能的覺得應該有更簡單的in place的歸併策略，但是50年過去了，仍然沒人發現。