已知函式$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$
(1)討論$f(x)$的單調性;
(2)設$g(x)=f(2x)-4bf(x),$當$x>0$時,$g(x)>0,$求$b$的最大值;
(3)已知$1.4142<\sqrt{2}<1.4143$,估計$\ln 2$的近似值(精確到0.001）.

分析:(1)$f^{'}(x)=e^x+e^{-x}-2\ge2\sqrt{e^x\cdot e^{-x}}-2=0$,故$f(x)$在$R$上單調遞增.
(2)$g(x)=e^{2x}-e^{-2x}-4x-4b(e^x-e^{-x}-2x),$
$g^{'}(x)=2e^{2x}+2e^{-2x}-4-4b(e^x+e^{-x}-2)=2(e^x+e^{-x}-2)(e^x+e^{-x}+2-2b)$,
設$h(x)=e^x+e^{-x}+2-2b,h(0)=4-2b$
當$b\le 2$時,易知$h(x)\ge h(0)=0,$故$g(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增,由$g(0)=0$知,$g(x)>0$,滿足題意.
當$b>2$時,存在零點$\phi$,使得$h(\phi)=0,\phi=\ln(b-1+\sqrt{b^2-2b})$,故$g(x)$在$(0,\phi)$單調遞減,又$g(0)=0,$故$g(x)<0$,不符合題意.
綜上,$b$的最大值為2.
(3)首先應該要知道$\ln 2$的大概值為0.693(平時的積累,類似要知道$\pi\approx3.1415926$.)這裡選擇的函式應該是帶有$b$的$g(x)$ 而不是$f(x)$, 其次要估計$\ln 2$ 又要用到$\sqrt{2}$, 由$g(x)$ 的函式形式,$x$ 的取值很容易嘗試$ln\sqrt{2},g(\ln\sqrt{2})=(4b-2)\ln2+\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}b$, 當$b\in(\dfrac{1}{2},2]$ 時 由$g(\ln\sqrt{2})>0$ 得$\ln 2>\dfrac{2\sqrt{2}b-\dfrac{3}{2}}{4b-2}\ge\dfrac{8\sqrt{2}-3}{12}>0.6928$
上界嘗試在當$b>2$時估計.令$\phi=\ln2$,此時$b=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}+1$,由(2)知$g(\ln\sqrt{2})<g(0)=0,$ 得
$\ln 2<\dfrac{2\sqrt{2}b-\dfrac{3}{2}}{4b-2}=\dfrac{18+\sqrt{2}}{28}<0.6934.$
故$\ln2\approx 0.693$

練習:

附解答: