演算法設計與分析基礎 第七章謎題
習題7.1
6. 祖先問題要求在一棵給定的n頂點二叉樹中，確定一個頂點u是否是頂點v的祖先。設計一個屬於O(n)的輸入增強演算法，使我們可以在常量時間內獲得樹的每一對頂點的足夠資訊，來對問題求解。
分析：一個頂點u是頂點v的祖先，當前僅當先序遍歷u在v的前面，並且後序遍歷u在v的後面。第一個條件，先序遍歷u在v的前面，代表要麼u是v的祖先，要麼u在公共祖先的左子樹中而v在公共祖先的右子樹中；第二個條件，後序遍歷u在v的後面，代表要麼u是v的祖先，要麼u在公共祖先的右子樹中而v在公共祖先的左子樹中。綜合兩個條件，我們可以知道確定一個頂點u是否是頂點v的祖先，其充分必要條件是先序遍歷u在v的前面，並且後序遍歷u在v的後面。
解答：在O(n)時間對二叉樹進行先序遍歷和後序遍歷，在常量時間內對需要比較的兩個節點在先序和後序中比較次序，確定頂點u是否是頂點v的祖先。
8.最小距離排序 在美術館大廳，有10個古埃及石像放置成一排。新的館長希望移動它們按照高度大小順序放置，要怎樣移動才能使所有石像的移動總和最小呢？為了簡化問題，假設石像的高度都不相同。
解答：通過比較計數排序計算每個雕像的位置，也就是算出比該雕像高度更低的雕像數目為Count陣列，然後根據計數來移動雕像位置。掃描Count陣列，找到第一個不在正確位置的雕像，即Count[i]≠i，將該雕像從當前位置移動到正確的位置Count[i]，然後再把Count[i]位置的雕像移動到Count[Count[i]]位置上，以此類推，直到有雕像移動到了i位置，則完成了一輪移動。此時若還有雕像不在正確位置上，則繼續執行上述步驟，直到所有的雕像都在正確位置上。由於每個雕像都直接移動到最終位置，因此該演算法顯然最小化了雕像移動的總距離
習題7.2
2. 考慮使用Horspool演算法在DNA序列中查詢基因的問題。一個DNA序列是由來自字母表{A,C,G,T}的文字表示的，而基因或者基因片段就是模式。
a.為第10對染色體中的下列基因片段構造一個移動表：
TCCTATTCTT
解答：
| 字元 |
A |
C |
T |
其他字元 |
| 移動距離tc |
5 |
2 |
1 |
10 |
b.用Horspool演算法，在下列DNA序列中為上面這個模式定位：
TTATAGATCTCGTATTCTTTTATAGATCTCCTATTCTT
解答：
T T A T A G A T C T C G T A T T C T T T T A T A G A T C T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T
11.給定兩個長度都為n的字串S和T，需要確定其中一個字串是否為另一個字串迴圈右移之後的結果。例如，PLEA是由LEAP迴圈右移一位產生的字串，反之亦然。
a. 設計一個空間效率較高的演算法解決該問題，並說明演算法的空間和時間效率型別。
解答：
Algorithm RightCyclicShift(S[0..n - 1], T [0..n - 1])
//Checks by brute force whether string T is a right cyclic shift of string S
//Input: Strings S[0..n - 1] and T [0..n - 1]
//Output: Returns true if T is a right cyclic shift of S and false otherwise
for i ← 0 to n - 1 do //try cyclic shift i positions to the right
k←0 //number of matched characters
while k ≤ n− 1 and S[(i + k) mod n] = T [k] do
k← k + 1
if k = n return true
return false
該演算法空間複雜度O(1)，時間複雜度O(n^2)
b. 設計一個時間效率較高的演算法解決該問題，並說明演算法的空間和時間效率型別。
解答：將S的前n-1個字元複製新增到S的末尾形成一個新的字串，然後用Boyer-Moore演算法搜尋該字串是否包含字串T。該演算法的時間複雜度（包含末尾新增字元和搜尋字串）為θ(n),空間複雜度(包含字尾和移動表)為θ(n)+θ(m)，m為搜尋字串中的字元數。
習題7.3
5.生日悖論 生日悖論問的是，當一個房間裡有多少人時，其中兩個人的生日（月和日）相同的概率大於1/2？這個問題的答案十分出人意料，請試著求解。對於雜湊來說這個結論意味著什麼？
解答：
，解得n=23。這個結論意味著，即使雜湊表的大小比鍵的數量大得多（大於10倍），我們也不能忽略衝突。
習題7.4
6. a.自頂向下2-3-4樹是一棵次數為4的B樹，並對B數的插入操作做如下改動：一旦為一個新建的查詢葉子節點時遇到的一個滿節點（也就是一個包含3個鍵的節點），就把該節點分裂為兩個節點，並把它們的中間鍵交給原來節點的父母（如果滿節點恰好是根，就為中間鍵創造一個新的根）。向一棵空樹連續插入下面這個鍵的列表，來構造一棵自頂向下的2-3-4樹。
a. 10,6,15,31,20,27,50,44,18
解答：
b. 和2-3樹的插入過程比起來，這個插入過程的主要優點是什麼？主要缺點又是什麼？
解答：優點是一個滿節點的分裂不會導致該節點的祖先鏈路上的連鎖分裂；缺點是我們可能會得到一棵過高的樹。