動態規劃是一種重要演算法，其思想，在我個人理解來看，就是把問題逐步地進行簡化，從一個看似複雜的問題，將問題化小，簡化到可以用某條公式（狀態轉移方程）逐步求出每種狀態的解，直到最後求出所要的答案。

比如01揹包問題，揹包容量有限，要儘可能裝入價值大的物品，我們可以假設一個dp陣列，其中dp[j]表示在容量為j的情況下最多能裝入多少價值的物品，這樣就把問題簡化到求一個個狀態了，但是明顯還是不夠用來解決問題，那麼怎麼辦呢？想想：對於每一種物品，都有裝入和不裝入兩種選擇，於是多了這麼一中約束條件：裝\不裝。又由於每種物品只有一件，所以應該從後往前更新，保證每種物品只被裝入一遍，這樣一步步推下來，就得到了我們所要的狀態轉移方程：

dp[j] = max{ dp[j-w[i]]+v[i], dp[i+1] }

具體程式碼則要寫成這樣：

for(int i = 0; i < n ;i++)
    for(int j = W; j >= w[i]; j--)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);

下面先上一道最簡單的DP題：HDU-1003  Max Sum

題目意思就是給一串數字，要你求出其中和最大的子序列，輸出最大的和，子序列的起始和結束點。

如何做這道題呢？首先簡化下問題，我們可以求到每個數字時以這個數字為結尾的最大子序列和是多少，於是dp陣列出來了，接下來，如何實現狀態轉移？考慮這樣一件事實：對於每一個a[i]，dp[i-1]都有加或不加的權利，如果加上他能使其接近答案，那麼就加上。怎樣才算接近答案呢？如果該dp[i-1]大於0，那麼無疑可以加上，不管加上後是正是負在以後的狀態轉移中再來篩除。如果dp[i-1]小於0，那麼這一段可以捨棄掉了，直接從當前數字起始，即dp[i] = a[i]。方程出來了！

上面說的有點繁瑣，主要為了初學者和自己便於理解，具體見程式碼，不正確的地方還請大牛指正！

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
int a[100000+20], dp[100000+20];

int main()
{
    int T, n, j = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        int left = 0, right = 0, maxn;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        maxn = dp[0] = a[0];
        // 根據狀態轉移方程寫出dp陣列，同時記錄最大值，dp[i]最大時即在此時應該記錄的右值為i
        for(int i  = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] > 0 ? dp[i-1]+a[i] : a[i];
            if(maxn < dp[i]) {
                maxn = dp[i];
                right = i;
            }
        }
        left = right;  // 這一句非常重要，漏了這句WA了十幾次，因為要考慮到子序列是一個數的結果，這個初始化不能少
        for(int i = left-1; i >= 0; i--) {  // 從右值開始向前推知道找到這個子序列的左值
            if(dp[i] >= 0)
                left = i;
            else
                break;
        }
        printf("Case %d:\n%d %d %d\n", j++, maxn, left+1, right+1);
        if(T)
            printf("\n");
    return 0;
    }
}
 

題目意思與上面差不多，改變的是這次要求多段子序列和最大。

這次加了個條件，求n段的子序列的最大和。如何入手呢？首先先寫一下二維的dp方程：

dp[i][j] = max{dp[i][j-1], dp[i-1][k]} + s[i]

dp[i][j]表示前j個數字的i個子序列最大和是多少，很好，狀態轉移方程不難寫出，接下來考慮一下如何優化？二維的寫法我也不是很會寫，能化成一維就更好了。思考一下：在我們的方程中，用到了什麼？其實也只有當前狀態(dp[i][j-1])和上一個狀態(dp[i-1][k])而已！於是可以用兩個一維陣列表示。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;
using namespace std;
int s[1000000+20];
ll cur[1000000+20], pre[1000000+20];

int main()
{
    int m, n, j;
    ll maxsum;
    while(~scanf("%d%d", &m, &n)) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &s[i]);
        }
        memset(cur, 0, sizeof(cur));  // 當前狀態
        memset(pre, 0, sizeof(pre));  // 上一次狀態
        for(int i = 1; i <= m; i++) {  // 從第一個子段開始
            maxsum = -1e9;  // 每次最大值復位
            for(j = i; j <= n; j++) {  // i子段狀態上推下下一個子段
                cur[j] = max(cur[j-1], pre[j-1]) + s[j];  //方程
                pre[j-1] = maxsum;  // 記錄上一個狀態
                maxsum = max(maxsum, cur[j]);  // 最大值
            }
            pre[j-1] = maxsum;
        }
        printf("%lld\n", maxsum);
    }
    return 0;
}