慣性導航之認識四元數（四）
之前說到，使用尤拉角積分和方向餘弦積分求得角度並不合適，而比較合適的是四元數。
在討論「四元數」之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉會有何影響，可以擴充三維直角座標系統的旋轉為三角度系統（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供這麼一段：
- Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having “pitched up” 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.
簡單地說，三角度系統無法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體本身即失去對任意軸的自由性。（引自四元數與旋轉）
工具：
- 複數、四元數
- 尤拉公式
開始正文
一、什麼是四元數？
四元數是簡單的超複數。 複數是由實數加上虛數單位 i 組成，其中i^2 = -1。 相似地，四元數都是由實數加上三個虛數單位 i、j、k 組成，而且它們有如下的關係：
i2=j2=k2=−1 ，i0=j0=k0=1 , 每個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示q=a+bk+cj+di ，其中a、b、c 、d是實數。（引自百度百科：四元數）
四元數的表示式：
q=a+bi+cj+dk
虛數單位滿足：
i2=j2=k2=ijk=−1
我們可以從複數來認識四元數，順便說一下四元數的來歷。在二維空間中，複數可以和複平面中的點一一對應，並且可以表示二維空間中的旋轉。但是到了三維空間中呢？愛爾蘭數學家哈密頓在將複數延伸到三維空間中時，想使用q=a+bi+cj來表示和三維空間中的點對應，但是遇到了一個問題，這個‘三元數’的乘法和除法該怎麼計算呢？例如，i*j應該等於多少？而最終，哈密頓犧牲了乘法交換律創造了四元數，虛數單位可以得到完整的乘法表：
| – | 1 | i | j | k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | i | j | k |
| i |
i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |
這樣，相應的加減乘除也得到了解決。
四元數的運算：
設有兩個四元數：
q1=w1+x1i+y1j+z1k q2=w2+x2i+y2j+z2k
則加法定義為：
q1+q2=(w1+w2)+(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k
乘法遵循分配律：
q1∗q2=(w1∗w2−x1∗x2−y1∗y2−z1∗z2)+(w1∗x2+x1∗w2+y1∗z2−z1∗y2)i+(w1∗y2−x1∗z2+y1∗w2+z1∗x2)j+(w1∗z2+x1∗y2−y1∗x2+z1∗w2)k
單位四元數，範數（模長）為1：
N(q)=|q|=x2+y2+z2+w2=1
定義四元數
q=w1−x1i−y1j− 相關推薦
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