問題描述

構建一棵二叉樹（不一定是二叉查詢樹），求出該二叉樹中某兩個結點的最低公共父結點。借用一張圖如下：

最低公共父結點的思路

遞迴，首先從樹根開始考慮：

①結點A 和 結點B 要麼都在樹根的左子樹中；②要麼都在樹根的右子樹中；③要麼一個在左子樹中，一個在右子樹中。

這是一個分治演算法，對於情況①和②，可以繼續遞迴分解。對於情況③屬於程式碼第10行判斷，複雜度為O(1)

遞迴表示式可表示為：T(N)=2T(N/2)+O(1)，解得T(N)=O(N)

對於③，最低公共父結點為樹根。

對於①，可以進一步判斷，從樹根的左孩子結點考慮：

1)結點A 和 結點B 要麼都在樹根的左子孩子 的 左子樹中；2)要麼都在樹根的左孩子 的 右子樹中；3) 要麼一個在樹根的左孩子的 左子樹中，一個在樹根的左孩子 的 右子樹中。

對於②，可以進一步判斷，從樹根的右孩子的結點考慮：

1)結點A 和 結點B 要麼都在樹根的右子孩子 的 左子樹中；2)要麼都在樹根的右孩子 的 右子樹中；3) 要麼一個在樹根的右孩子的 左子樹中，一個在樹根的右孩子 的 右子樹中。

下面程式碼實現遞迴求解最低公共父結點。

1     /**
 2      * 求解node1 和 node2 的最低公共父結點
 3      * @param node1
 4      * @param node2
 5      * @return 最低公共父結點
 6      */
 7     public BinaryNode<T> commonNode
 
(BinaryNode<T> node1, BinaryNode<T> node2, BinaryNode<T> root){
 8         if(root == null)
 9             return null;
10         if(node1.element == root.element || node2.element == root.element)
11             return root;
12         /*
13          * 若 left==null, node1,node2 都不在 root.left子樹中
14          * 若right==null,node1,node2 都不在root.right子樹中
15          */
 

16         BinaryNode<T> left = commonNode(node1, node2, root.left);
17         BinaryNode<T> right = commonNode(node1, node2, root.right);
18         
19         if(left != null && right != null)
20             return root;
21         return left == null ? right : left;
22     }

根據程式中的第8行和第10行的if語句，可知：

1）若 left==null, 則說明 node1,node2 都不在 root.left子樹中

2）若right==null,則說明 node1,node2 都不在root.right子樹中

3）當對於某個結點，當執行了第16，17行的遞迴後 ,left 和 right 都不為空，說明node1 在 該結點.left子樹中，node2 在 該結點.right子樹中

故第19-20行，返回 該結點 作為公共父結點

例如，求結點8 和 結點5 的最低公共父結點：遞迴呼叫過程如下：

a)commNode(8,5,1)==2

b1)      commNode(8,5,2)==2

c1)             commNode(8,5,4)==8

d1)                      commNode(8,5,8)==8

d2)                     commNode(8,5,9)==null

c2)             commNode(8,5,5)==5

b2)      commNode(8,5,3)==null

a)生成了 b1) b2) 兩個遞迴呼叫，其中 b2)為空，因為結點8，結點5 不在以3為根的子樹中

b1)生成了 c1) c2)兩個遞迴呼叫，其中 c2) 是commNode(8,5,5)，根據程式第10行if，返回5，而c1)又生成了 d1) d2)兩個遞迴呼叫

其中，d1) 返回8，d2)返回null， 故執行到第21行語句，return 不空的那個left/right，也就是 d1) 返回的結點8

由於 c1)返回了8， c2)返回了5，都不為空，執行到第19-20行，返回它們的root，即，結點4和結點5的公共父結點：結點2

由於 b1) 生成了 c1) c2) 故 b1) 的值是結點2 又因為 b2) 為null

故 a) 最終是 b1) 的值，即為結點2。