引入

• 程式設計競賽有相當一部分題目的結果過於龐大，整數型別無法儲存，往往只要求輸出取模的結果。
• 例如(a+b)%p,若a+b的結果我們儲存不了，再去取模，結果顯然不對，我們為了防止溢位，可以先分別對a取模,b取模，再求和，輸出的結果相同。
• a mod b表示a除以b的餘數。有下面的公式：
  
  • (a + b) % p = (a%p + b%p) %p
  • (a - b) % p = ((a%p - b%p) + p) %p
  • (a * b) % p = (a%p)*(b%p) %p
• 注意對於除法取模，我們不能直接分別取模了，詳見逆元。

快速冪取模

typedef long long
 
 LL;
LL pow_mod(LL a,LL b,LL p){//快速冪取模
    LL ans=1,base=a;
    while(b>0){
        if(b&1) //n%2==1
            ans=ans*base%p;
        base=base*base%p;
        b>>=1;// b/=2
    }
    return ans;
}

快速乘法取模

• 當我們計算a*b%mod的時候，往往較大的數計算a＊b會超出資料的範圍，這個時候使用快速乘法方法能解決上述問題．
• 快速乘法的原理是把數分解為多項式相加。舉個例子：
  30*14 = 30*(1110)2 = 30*(2^3)1+30
  (2^2)1+30(2^1)1+30(2^0)*0=240+120+60=420

typedef long long LL;
LL q_mul(LL a, LL b, LL p){//快速乘法取模
    LL ans = 0;
    while (b){
        if(b&1LL) ans=(ans+a)%p;
        //or ans=(ans+(b%2*a)%p)%p;
        a = (a +a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

逆元/數論的倒數 - 對於倒數取模運算用逆元

逆元概念引入

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （對）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （對）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （對）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （錯）
對於除法取模不能這樣，例如(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
對於一些題目，我們必須在中間過程中進行求餘，否則數字太大，電腦存不下，那如果這個算式中出現除法，我們是不是對這個算式就無法計算了呢？
這時就需要逆元了
a*inv(a)=1
又對於a*b=1(mod p) b不一定是a的倒數，但是如果求餘，我們可以把b看作a的倒數，並稱b叫做a關於p的逆元。記b=inv（a）。
前提條件a和p互質，a才有關於p的逆元

具體實現

費馬小定理

定理內容，如果p為質數，gcd(a,p)=1，那麼a^(p-1) ≡1 (mod p)
- a^(p-2) ≡1/a (mod p)
a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
inv(a) = a^(p-2) (mod p)
- 時間複雜度為O(logn)

typedef long long LL;
LL fermat(LL a,LL p)//費馬求a關於b的逆元
{
    return pow_mod(a,p-2,p);
}

擴充套件歐幾里德演算法

公式a∗x+b∗y=gcd(a,b) 。
若a，b互質且有解，則有a∗x+b∗y=1。
當我們要求a關於b的逆元，我們可以這樣看。
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
可見，擴充套件歐幾里德演算法可以實現逆元。

typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){//擴充套件歐幾里德
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

例題