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母函式又稱生成函式。定義是給出序列:a0,a1,a2,.......ak,......,那麼函式G(x)=a0+a1*x+a2*x²+......ak*x^k稱為序列a0,a1,a2,.......ak,......的母函式(即生成函式)。

例如：序列1,2,3.......n的生成函式為：G(x)=x+2x²+3x³+........nxⁿ。點此連結:百度百科

特別的當序列為:1，1，1，1，.......1，這個生成函式為:G(x)=x+x²+x³+.......+xⁿ=(1-xⁿ)/(1-x),當-1<x<1時G(x)=1/(1-x)

1/(1-x)ⁿ

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例 1：使用母函式求出斐波那契數列的通項公式。Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2),這裡假設Fib(1)=1,Fib(2)=1;

求解這種遞推關係的方法是：①、將遞推關係變成母函式方程；②、求解母函式方程；③、將母函式變成冪級數形式。

所以斐波那契數列的生成函式為:G(x)=x+x²+2x³+3x⁴+5x⁵+8x⁶..........。

等式兩邊同時*x有：xG(x)=x²+x³+2x⁴+3x⁵+5x⁶+8x⁷+.......。

相加有：G(x)+xG(x)=x+2x²+3x³+5x⁴+8x⁵+13x⁶+........。

我們對比G(x)可以得到:G(x)+xG(x)=G(x)/x-1;所以我們可以得到:G(x)=x/(1-x-x²)。

可以令:1-x-x²=0,得到兩根為:a=(1-√5)/2,b=(1+√5)/2,所以我們可以知道:1-x-x²=(x-x1)(x-x2)=(1-ax)(1-bx);

假設x/(1-x-x²

我們可知：1/(1-bx)=1/[1-(1+√5)/2x]是以公比為(1+√5)/2的等比數列，1/(1-ax)是以公比為(1-√5)/2的等比數列，所以其通項公式為：Fib(n)=1/√5[bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹]。

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例題2：若有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？各有幾種可能方案？

構造母函式，如果用x的指數表示稱出的重量，則：
1個1克的砝碼可以用函式1+x表示，(前面的這個1表示1克的砝碼個數為0)
1個2克的砝碼可以用函式1+x²表示，
1個3克的砝碼可以用函式1+x³表示，
1個4克的砝碼可以用函式1+x⁴表示，

那麼幾種砝碼的組合情況的用乘積表示有:(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰ ,係數即為方案數。

例稱出重量為6的物品：①、1，2，3；②、2，4兩種方案。

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例題3：求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數？

這個相對於上面的那個例子是：這個郵票可以重複。可知其生成函式為：G(x)=(1+x+x²+....)(1+x²+x⁴+....)(1+x³+x⁶+...),同理展開後其係數即為方案數。

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例題4：德.梅其里亞克稱重問題

(1)重為a1,a2,a3.....ak的砝碼，如何放在天平的兩端，記可稱重量為n的物體的不同方式為Cn,則Cn的母函式為:

G(x)=(x^-a1+1+x^a1)(x^-a2+1+x^a2).........(x^-ak+1+x^ak) ------ x^-a1表示砝碼a1和物體放在同一個托盤內,x^a1表示砝碼和物體放在不同的托盤內,1則為不用這個砝碼。

(2)重為a1,a2,a3....ak的砝碼，如只可以放在天平的一端，記可稱重量為n的物體的不同方式為Cn，則Cn的母函式為：

G(x)=(1+x^a1)(1+x^a2).........(1+x^ak)

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例題5：數的劃分，將整數分解為若干個整數(相當於將n個蘋果放在n個無區別的盤子裡，每個盤子可以放多個，也可以不放)，上一篇博文中有提到。

假設1出現的次數為記為a1,2出現的次數記為a2.........k出現的次數記為ak,那麼生成函式為：

G(x)=(1+x+x²+x³+x⁴+.....)(1+x²+x⁴+x⁶+x⁸+......)(1+x³+x⁶+x⁹+....)........(1+xⁿ)

前面的1+x²+x⁴+x⁶+x⁸+......意思是當出現一個2時為x²，當出現兩個2時為x⁴.....,為什麼當出現n時，只有兩項(1+xⁿ)，因為是將數n劃分為若干項，所以不能超過該數，且由數1到n項數依次要<=n/k(k=1.2,3,4...n)。

1. #include<iostream>
2. #include<cstring>
3. #include<algorithm>
4. usingnamespace std;  
5. constint MAX=50;  
6. #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
7. int n,m,value[MAX],temp[MAX];  
8. int main()  
9. {   cin>>m;  
10.     while(m--)  
11.     {   cin>>n;  
12.         fill(value,value+MAX,1);//value用來儲存係數 
13.         CLR(temp,0);//temp用來儲存每一次的情況
14.         for(int i=2;i<=n;i++)                                                          
15.         {   for(int j=0;j<=n;j++)  
16.                 for(int k=0;k+j<=n;k+=i) //控制每次係數的變化和每個數出現的最大項數 
17.                     temp[k+j]+=value[j];    
18.             for(int j=0;j<=n;j++)  
19.                 value[j]=temp[j],temp[j]=0;  
20.         }  
21.         cout<<value[n]<<endl;   
22.     }  
23.     return 0;  
24. }  

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1. //有3種面額是1、2、5的硬幣,輸入3個數字代表每種硬幣的枚數,求最小的不能由這些硬幣組成的面額是多少？
2. #include<iostream>
3. #include<cstring>
4. #include<algorithm>
5. usingnamespace std;  
6. constint MAX=8010;  
7. #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
8. int value[MAX],temp[MAX],num[3],coin[3]={1,2,5};  
9. int main()  
10. {   while(cin>>num[0]>>num[1]>>num[2])  
11.     {   if(num[0]+num[1]+num[2]==0) break;  
12.         int max=num[0]+2*num[1]+5*num[2];  
13.         CLR(value,0);  
14.         CLR(temp,0);  
15.         fill(value,value+num[0]+1,1);  
16.         for(int i=1;i<3;i++)  
17.         {   for(int j=0;j<=max;j++)  
18.                 for(int k=0;k+j<=max&&k/coin[i]<=num[i];k+=coin[i])//注意不能超出個數
19.                     temp[k+j]+=value[j];  
20.             for(j=0;j<=max;j++)  
21.                 value[j]=temp[j],temp[j]=0;  
22.         }  
23.         for(i=0;i<=max+1;i++)//遍歷即可
24.             if(value[i]==0) {cout<<i<<endl;break;}  
25.     }  
26.     return 0;  
27. }  

涉及到母函式的題目有：HDU 1171，1398，1709，2065，2069，2082，2152；POJ 3046,3716,3734等等~有空再做下，還有很多東西不懂，應該先歸納下其它的知識~~