樹狀陣列進階（區間修改）
【...】樹狀陣列其實就是單點修改，區間查詢。那麼區間修改呢？下面我們來引入題目詳細（並不）講解。
【題目】
Color the ball
TimeLimit: 9000/3000 MS (Java/Others) MemoryLimit: 32768/32768 K (Java/Others)
64-bit integer IO format:%I64d
Problem Description
N個氣球排成一排，從左到右依次編號為1,2,3....N.每次給定2個整數a b(a <= b),lele便為騎上他的“小飛鴿"牌電動車從氣球a開始到氣球b依次給每個氣球塗一次顏色。但是N次以後lele已經忘記了第I個氣球已經塗過幾次顏色了，你能幫他算出每個氣球被塗過幾次顏色嗎？
Input
每個測試例項第一行為一個整數N,(N <= 100000).接下來的N行，每行包括2個整數a b(1 <= a <= b <= N)。
當N = 0，輸入結束。
Output
每個測試例項輸出一行，包括N個整數，第I個數代表第I個氣球總共被塗色的次數。
SampleInput
3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0SampleOutput
1 1 1
3 2 1【題解】
題意：區間修改，單點查詢。
思路：這道題可以把每次染色的點抽象為每次塗改的區間，然後對要查詢的點所在區間的更新次數進行求和，這樣就可以在時間上大大縮短，查詢和統計的時間複雜度都為log(n)。
樹狀陣列中的每個節點都代表了一段線段區間，每次更新的時候，根據樹狀陣列的特性可以把b以前包含的所有區間都找出來，全部加一次染色次數，然後再把a以前的區間全部減一次染色次數。這樣就修改了樹狀陣列中的[a,b]的區間染色次數，查詢每一個點總的染色次數的時候，就可以直接向上統計每個父節點的值，就是包含這個點的所有區間被染色次數。這就是樹狀陣列中向下查詢，向上統計的典型應用。
【程式碼】
#include <stdio.h> #include <string.h> #define lowbit(x) (x&-x) const int MAXN=100010; int n,c[MAXN]; void update(int x,int v) { while(x>0) { c[x]+=v; x-=lowbit(x); } } int query(int x) { int ret=0; while(x<=n) { ret+=c[x]; x+=lowbit(x); } return ret; } main() { int a,b,i; while(scanf("%d",&n),n) { memset(c,0,sizeof(c)); for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); update(b,1);update(a-1,-1); } for(i=1;i<n;i++) printf("%d ",query(i)); printf("%d\n",query(i)); } }
【題目】
題目描述 Description
給你N個數，有兩種操作：
1：給區間[a,b]的所有數增加X
2：詢問區間[a,b]的數的和。
輸入描述 Input Description
第一行一個正整數n，接下來n行n個整數，再接下來一個正整數Q，每行表示操作的個數，如果第一個數是1，後接3個正整數，
表示在區間[a,b]內每個數增加X,如果是2，表示操作2詢問區間[a,b]的和是多少。
輸出描述 Output Description
對於每個詢問輸出一行一個答案
樣例輸入 Sample Input
3
1
2
3
2
1 2 3 2
2 2 3
樣例輸出 Sample Output
9
資料範圍及提示 Data Size & Hint
資料範圍
1<=n<=200000
1<=q<=200000
【題解】
題意：區間修改，區間查詢。
思路：觀察式子：
a[1]+a[2]+...+a[n] = (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) = n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n]) ---> 式子①
那麼我們就維護一個數組c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]，每當修改c1的時候，就同步修改一下c2，這樣複雜度O(logN)就不會改變。
那麼式子①=n*query(c1,n) - query(c2,n)
【程式碼】
#include <cstdio>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll long long
#define maxn 200010
using namespace std;
ll n,q,c1[maxn],c2[maxn],num[maxn];
void add(ll *r, ll pos, ll v)
{
for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))
r[pos]+=v;
}
ll query(ll *r, ll pos)
{
ll ans=0;
for(;pos;pos-=lowbit(pos))
ans+=r[pos];
return ans;
}
main()
{
ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;
scanf("%lld",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",num+i);
add(c1,i,num[i]-num[i-1]);
add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
}
scanf("%lld",&q);
while(q--)
{
scanf("%lld%lld%lld",&type,&a,&b);
if(type==1)
{
scanf("%lld",&v);
add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);
add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);
}
else
{
sum1=(a-1)*query(c1,a-1)-query(c2,a-1);
sum2=b*query(c1,b)-query(c2,b);
printf("%lld\n",sum2-sum1);
}
}
}