數論知識點1——快速冪取模

1.快速冪的思路

普通的冪運算操作是時間複雜度是O(n)，這個速度的確很快，但是當n比較大的時候，普通的寫法就會超時，我們考慮將a^b這種形式，我們把b（也就是指數），看成二進位制的，比如a²²次方，22代表的是10110，那麼我們可以把a²² => 轉換為 a¹⁶  * a⁴  *  a² ，很明兩者是等價的，因為16 + 4 + 2 == 22。這個表示式的意思就是我們在計算a22的時候，可以使用二進位制的形式來運算，遇到1則對結果進行累乘，始終對指數進行累乘，具體看程式碼

LL pow_mod(LL x, LL n)
{
    LL res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x;   //遇到1對結果進行累乘
        x = x * x;    //指數累乘
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 

這個程式碼的問題就是，會溢位，不管速度是否加快但是結果都是一樣的，所以才有了冪取模這麼一個說法，但是我們如果在最後取模還是要溢位，，所以一邊運算一邊取模，這裡用到的知識點是(a * b) % c = (a % c * b % c) % c，所以有了下面這個完整的程式碼

LL pow_mod(LL x, LL n, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 

這個題目不僅要求a^b的後3位，還有就是前3位，後3位就是剛剛的快速冪取模運算，把mod寫成1000，即可。

前三位，需要用到一個知識點，那就是給定一個數n，這個數可以表示成10^a，這個a一般是小數，那麼n^k就等於10^ak，這裡把ak分為兩部分，整數和小數部分，即x和y，那麼n^k = 10^x * 10^y，由於x是整數，那麼很明顯他是用來指定位數的，因為10^x肯定是一個10， 100， 10000...之類的數字，也就是說10^y才是這個數字的有效部分，我們只要求出10^y，然後乘上100最終結果就是我們想要的。

因為n = 10^a  所以 a = log10(n)，10^y就是小數部分，我們用函式fmod(x, 1)，返回x的小數部分

，然後乘上100即可

fmod返回的是y的值，所以必須計算10^y才是真實值，所以直接使用10² * 10^y 即pow(10, 2 + y)；

程式碼如下：

LL pow_mod(LL x, LL n, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    int n, k;
    int Case = 1;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n >> k;
        int res = pow(10.0, 2.0 + fmod((double)k * log10((double)n), 1)); 
        cout << "Case " << Case++  << ": " << res << " " << setfill('0') << setw(3) << pow_mod(n, k, 1000) << endl;
    }
    return 0;
}