談談最近公共祖先（LCA倍增）——楊子曰演算法

今天，楊子來曰（yue）一曰（yue）演算法——LCA
是神馬呢？
舉個例子，我姓楊，你也姓楊，所以我們早在5325年前肯定有一個公共祖先，BUT這個公共祖先的兒子也有可能是我們公共的祖先，對吧？So，肯定在我們的所有公共祖先中，有一個是離我們最近的（也就是說，他的兩個兒子分別是我和你的祖先），那麼這個祖先就稱為，我和你的最近公共祖先，即LCA.
現在，我們把他放在一棵樹上就很好理解了，Look at the圖：

如圖：結點6和結點8的LCA就是2

再看：

如圖：結點7和結點9的LCA是結點1

但如果是這樣呢？

沒錯，結點1和結點9的LCA就是結點1，So，楊子曰：如果兩個結點是爹和娃的關係，那麼它們的LCA就是爹

好了，BB了半天，看出來點什麼呢？或者問，我們為什麼要研究LCA呢？
來看一看兩點間的路徑，你可以得到一個結論，楊子曰：樹上兩點間的路徑必定經過他們的LCA
So，楊子再曰：有關兩點間路徑的問題，立刻想到LCA（也有可能是樹鏈剖分）
呱呱了半天，LCA到底怎麼求呢？——三個演算法，今天就曰一個——倍增

首先，我們需要一個數組f[i][j],表示結點i的第2^j個父親是誰，那f怎樣更新呢？
首先f陣列全附成根節點（原因後面自然就知道了）f[i][0]可以用一次dfs全部求出，然後會發現f[i][j]就等於f[f[i][j-1]][j-1],也就是結點i的第2^j的父親就是i的第2^(j-1)父親的第2^(j-1)父親

注意i,j迴圈的順序：

for (int j=1;j<=18;j<=++){
    for (int i=1;i<=n;i++){
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
    }
}

OK，這個求完了再怎麼搞呢？
下面，我們假設要求x,y兩個點的LCA
1. 判斷兩點是否是父子關係
如果兩點是父子關係，那麼輸出父親；
等等等等，舉手提問：這怎麼判斷？
使用dfs序-時間戳，不知道的人自行百度
簡單的說就是對樹dfs的時候記錄進入的時間和出來的時間
判斷兩個結點的時間戳 是否是包含關係，就可以了
2. 把 j從大到小遞減，判斷f[x][j]是否是y的祖先

又有人舉起手說，這怎麼判斷，
楊子曰：請你看看上面，你是魚的記憶嗎？？
使用時間戳時間戳時間戳
3. 如果是就繼續減小j，否則把結點x調到結點f[x][j]
如果x第2^j個祖先也是y的祖先，那麼LCA肯定是這個結點，或者是他下面的結點，所以我們減小j，如果突然發現x第2^j個祖先不是y的祖先，呀呀呀！出大事了，現在我們無法在控制LCA的範圍了，所以著急的x趕緊往上跳，調到x第2^j個祖先（下面解釋為神馬可以這樣做）
4.j減小到0後，f[x][0]就是LCA
解釋下為什麼，首先要知道，一個數是可以換成幾個不同的2的冪的和的形式：
如 7=1+2+4 54=2+4+16+32 （←其實就是換成2進位制）
好，既然這樣，那我們就可以利用這一特點，對x的祖先經行二分檢索（減小j），對於LCA是x的第幾個祖先也可以變成這樣的形式，所謂x往上跳，就是在處理這些2^j的加數，
好，既然這樣LCA就被完美實現了

總結一波：先dfs求f[i][0]和時間戳，遞推求出f[i][j]，對於每個詢問單獨判斷，時間複雜度：O(n log n)

如果你還知道神馬是樹鏈剖分的話（不知道，戳我），你就可以用樹鏈剖分求LCA（←它比倍增更快更優）

OK，完事

c++程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[30005][20],tin[30005],tout[30005];
vector<int> a[30005];
int cnt=0;

int inline read(){
    int x=0,w=0;char ch=0; 
    while (ch<'0' || ch>'9') w|=ch=='-',ch=getchar(); 
    while (ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar(); 
    return w? -x:x; 
}

void dfs(int k,int fa){
    f[k][0]=fa;
    tin[k]=++cnt;
    for (int i=0;i<a[k].size();i++){
        int v=a[k][i];
        if (v==fa) continue;
        dfs(v,k);
    }
    tout[k]=cnt;
}

int anc(int x,int y){
    return tin[x]<=tin[y] && tout[y]<=tout[x];
}

int lca(int x,int y){
    if (anc(x,y)) return x;
    if (anc(y,x)) return y;
    for (int i=16;i>=0;i--){
        if (!anc(f[x][i],y)) x=f[x][i];
    }
    return f[x][0];
}

int main(){
    int n=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=read();
        int y=read();
        a[x].push_back(y);
        a[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,1);
    for (int j=1;j<=16;j++){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
        }
    }
    int m;
    m=read();
    while(m--){
        int x,y;
        x=read();
        y=read();
        cout<<lca(x,y)<<"\n";
    } 
    return 0;
}