題目描述

設一個n個節點的二叉樹tree的中序遍歷為（1,2,3,…,n），其中數字1,2,3,…,n為節點編號。每個節點都有一個分數（均為正整數），記第i個節點的分數為di，tree及它的每個子樹都有一個加分，任一棵子樹subtree（也包含tree本身）的加分計算方法如下：

subtree的左子樹的加分× subtree的右子樹的加分＋subtree的根的分數。

若某個子樹為空，規定其加分為1，葉子的加分就是葉節點本身的分數。不考慮它的空子樹。

試求一棵符合中序遍歷為（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉樹tree。要求輸出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍歷

輸入輸出格式

輸入格式：

第1行：一個整數n（n＜30），為節點個數。

第2行：n個用空格隔開的整數，為每個節點的分數（分數＜100）。

輸出格式：

第1行：一個整數，為最高加分（結果不會超過4,000,000,000）。

第2行：n個用空格隔開的整數，為該樹的前序遍歷。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

5
5 7 1 2 10

輸出樣例#1：

145
3 1 2 4 5

題解

雖然題目給出的描述好像是樹形DP，但本題能用區間DP解決。題目給出二叉樹的中序遍歷為1~n，那麼包含在[1,n]內的任意一個區間[l,r]都可以代表一棵子樹，根節點為[l,r]內的任意一個數。根據題目中給出的二叉樹加分的計算方法，可以寫出如下的轉移方程：

狀態設計：F[i][j]表示區間[i,j]代表子樹的加分

狀態轉移：F[i][j]=max{F[i][k-1]*F[k+1][j]+V[k]}（i<=k<=j，V[k]代表k節點的加分）

題目要求葉子節點的加分為節點本身的分數，空子樹的加分為1，因此邊界條件處理如下：

邊界處理：F[i][i]=V[i],F[i][i+1]=1

至於列印答案的問題，有兩種方法。一是列舉根節點，看哪一個符合狀態轉移方程；二是用空間換時間，開一個數組G，用G[l][r]代表區間[l,r]中的根節點。初始時G[i][i]=i。

程式碼

#include <iostream>
 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 33;
int v[maxn],g[maxn][maxn];
LL f[maxn][maxn];
int n;
void dfs(int l,int r)
{
    if(l>r) return;
    int t=g[l][r];
    printf("%d ",t);
    dfs(l,t-1);
    dfs(t+1,r);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i+1][i]=1;//空子樹的初始化從0開始 
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=v[i],g[i][i]=i;
    for(int l=1;l<n;l++)//先列舉區間長度，移動一段固定的區間進行轉移 
    {
        for(int i=1;i<=n-l;i++)
        {
            int j=i+l;
            for(int k=i;k<=j;k++)
            {
                LL t=f[i][k-1]*f[k+1][j]+v[k];
                if(t>f[i][j])
                {
                    f[i][j]=t;
                    g[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",f[1][n]);
    dfs(1,n);
    return 0;
}