拓撲排序基礎

拓撲排序用於解決有向無環圖(DAG,Directed Acyclic Graph)按依賴關系排線性序列問題，直白地說解決這樣的問題：有一組數據，其中一些數據依賴其他，問能否按依賴關系排序(被依賴的排在前面)，或給出排序結果。

最常用解決拓撲排序問題的方法是Kahn算法，步驟可以概括為：

1. 根據依賴關系，構建鄰接矩陣或鄰接表、入度數組
2. 取入度為0的數據(即不依賴其他數據的數據)，根據鄰接矩陣/鄰接表依次減小依賴其的數據的入度
3. 判斷減小後是否有新的入度為0的數據，繼續進行第2步
4. 直到所有數據入度為0、得到拓撲排序序列，或返回失敗(存在環形依賴)

其中2、3兩個步驟取入度為0數據、減小依賴其的數據的入度，過程像樹的寬度優先搜索，用到類似BFS方法；以上過程用偽代碼表示如下：

L ← Empty list that will contain the sorted elements
S ← Set of all nodes with no incoming edge
while S is non-empty do
    remove a node n from S
    add n to tail of L
    for each node m with an edge e from n to m do
        remove edge e from the graph
        if m has no other incoming edges then
            insert m into S
 
if graph has edges then
    return error   (graph has at least one cycle)
else 
    return L   (a topologically sorted order)

下面看具體例子 207. Course Schedule (有n個課程，課程間有依賴關系，問能否完成所有課程)：

    //207. Course Schedule
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
 
        //構建鄰接矩陣、入度數組
        vector<vector<int>> adj(numCourses);
        vector<int> indegree(numCourses,0);
        for(auto x:prerequisites){
            adj[x.second].push_back(x.first);
            indegree[x.first]++;
        }
        //類似BFS
        queue<int> q;
        for(int i=0;i<numCourses;i++)
            if(indegree[i]==0) q.push(i);
        while(!q.empty()){
            int cur=q.front();
            q.pop();
            numCourses--;
            for(auto next:adj[cur])
                if(--indegree[next]==0) q.push(next);//新入度為0的先處理，這與正統BFS有區別
        }
        //判斷最後所有數據入度為0
        return numCourses==0;
    }

以上用到鄰接矩陣(adjacency matrix)表示依賴關系，時間復雜度為O(V^2)，其中V為數據個數。可視化過程：這裏

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