【算法總結】概率與期望相關
阿新 • • 發佈：2018-04-19
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〖相關資料〗
《淺析競賽中一類數學期望問題的解決方法》
〖相關題目〗
1.【bzoj1415】[NOI2005] 聰聰和可可
題意：在一個魔法森林裏，住著一只聰明的小貓聰聰和一只可愛的小老鼠可可。整個森林可以認為是一個無向圖，圖中有N 個美麗的景點，景點從1 至N編號。在景點之間有一些路連接。可可正在景點M (M ≤ N)處。以後的每個時間單位，可可都會選擇去相鄰的景點（可能有多個）中的一個或停留在原景點不動。而去這些地方所發生的概率是相等的。聰聰是很聰明的，所以，當她在景點C 時，她會選一個更靠近可可的景點，如果這樣的景點有多個，她會選一個標號最小的景點。如果走完第一步以後仍然沒吃到可可，她還可以在本段時間內再向可可走近5一步。
分析：bfs預處理+概率dp。詳見：湯可因《淺析競賽中一類數學期望問題的解決方法》。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 const int N=1e3+10; 6 int n,m,u,v,cat,mouse,cnt,head,tail; 7 int first[N],ind[N],q[N],dis[N][N],p[N][N];View Code8 double f[N][N]; 9 struct edge{int to,next;}e[N*2]; 10 int read() 11 { 12 int x=0,f=1;char c=getchar(); 13 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();} 14 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();} 15 return x*f; 16 } 17 void ins(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}18 void bfs(int S) 19 { 20 head=tail=0;q[tail++]=S; 21 p[S][S]=dis[S][S]=0; 22 while(head!=tail) 23 { 24 u=q[head++];if(head>1000)head=0; 25 for(int i=first[u];i;i=e[i].next) 26 { 27 v=e[i].to; 28 if(dis[S][u]+1<dis[S][v]||(dis[S][u]+1==dis[S][v]&&p[S][u]<p[S][v])) 29 { 30 dis[S][v]=dis[S][u]+1; 31 if(dis[S][v]<=1)p[S][v]=v; 32 else p[S][v]=p[S][u]; 33 q[tail++]=v;if(tail>1000)tail=0; 34 } 35 } 36 } 37 } 38 double dfs(int a,int b) 39 { 40 if(f[a][b])return f[a][b]; 41 if(a==b)return f[a][b]=0; 42 if(p[a][b]==b||p[p[a][b]][b]==b)return f[a][b]=1; 43 double sum=dfs(p[p[a][b]][b],b); 44 for(int i=first[b];i;i=e[i].next) 45 sum+=dfs(p[p[a][b]][b],e[i].to); 46 return f[a][b]=sum/(ind[b]+1)+1; 47 } 48 int main() 49 { 50 memset(p,0x3f,sizeof(p));memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 51 n=read();m=read();cat=read();mouse=read(); 52 for(int i=1;i<=m;i++) 53 u=read(),v=read(),ind[u]++,ind[v]++,ins(u,v),ins(v,u); 54 for(int i=1;i<=n;i++)bfs(i); 55 printf("%.3lf",dfs(cat,mouse)); 56 return 0; 57 }
2.【bzoj1076】[SCOI2008]獎勵關
題意：在獎勵關裏，系統依次隨機拋出k次寶物，每次可以選擇吃或者不吃（必須在拋出下一個寶物之前做出選擇，且現在決定不吃的寶物以後也不能再吃）。寶物一共有n種，每次拋出這n種寶物的概率都相同且相互獨立。獲取第i種寶物將得到Pi分，但第i種寶物有一個前提寶物集合Si。只有當Si中所有寶物都至少吃過一次，才能吃第i種寶物。假設你采取最優策略，平均情況你一共能在獎勵關得到多少分值？
分析：為了方便地判斷狀態是否合法，可以倒著枚舉。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 const int N=16; 6 const int M=(1<<15)+10; 7 int m,n,x,mx,v[N],t[N],p[N]; 8 double f[105][M]; 9 int read() 10 { 11 int x=0,f=1;char c=getchar(); 12 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();} 13 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();} 14 return x*f; 15 } 16 int main() 17 { 18 m=read();n=read();p[1]=1;mx=(1<<n)-1; 19 for(int i=2;i<=n;i++)p[i]=p[i-1]<<1; 20 for(int i=1;i<=n;i++) 21 { 22 v[i]=read();x=read(); 23 while(x)t[i]|=p[x],x=read(); 24 } 25 for(int i=m;i>=1;i--) 26 for(int j=0;j<=mx;j++) 27 { 28 for(int k=1;k<=n;k++) 29 if((t[k]|j)==j)f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|p[k]]+v[k]); 30 else f[i][j]+=f[i+1][j]; 31 f[i][j]/=n; 32 } 33 printf("%.6lf",f[1][0]); 34 return 0; 35 }View Code
3.【bzoj4318】OSU!
題意：見原題。
分析：Clove_uniqueの博客
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 const int N=1e5+5; 7 int n; 8 double p,f[N],g[N],h[N]; 9 int read() 10 { 11 int x=0,f=1;char c=getchar(); 12 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();} 13 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();} 14 return x*f; 15 } 16 int main() 17 { 18 n=read(); 19 for(int i=1;i<=n;i++) 20 { 21 scanf("%lf",&p); 22 h[i]=p*(h[i-1]+1); 23 g[i]=p*(g[i-1]+2*h[i-1]+1); 24 f[i]=p*(f[i-1]+3*g[i-1]+3*h[i-1]+1)+(1-p)*f[i-1]; 25 } 26 printf("%.1lf",f[n]); 27 return 0; 28 }View Code
【算法總結】概率與期望相關