給定一個整數陣列，找到連續子陣列（至少包含一位）的最大和，並返回。

示例：

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

思路

1、分治法

nums 的連續子陣列的最大和，就等於以下三者中的最大值：

• nums[:mid] 的連續子陣列的最大和
• nums[mid+1:] 的連續子陣列的最大和
• 包含nums[mid] 的連續子陣列的最大和

其中，mid 為中位數位置。

時間複雜度的遞推公式：T(n) = 2*T(n/2) + n

可求出：T(n) = O(nlogn)

2、動態規劃法

已知前 k 項的最大子陣列之和，求前 k+1 項的最大子陣列之和，就等於以下兩者的較大值：

• 前 k 項的最大子陣列之和
• 包含 nums[k] 的最大子陣列之和

其中第2步，包含 nums[k] 的最大子陣列之和，又可以根據前 k 項中包含 nums[k-1] 的最大子陣列之和來得到，只需要O(1)。

因此整體時間複雜度為 O(n)。

python實現

def maxSubArray(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    分治法。
    """
 

    
    # 遞迴結束條件
    l = len(nums)
    if l == 1:
        return nums[0]
    
    # 求取包含nums[mid] 的連續子陣列的最大和
    mid = l // 2
    max_sum1 = 0 # mid 左半部分的最大和（從末尾向前累加）
    cur_sum = 0
    for num in nums[:mid][::-1]:
        cur_sum += num
        max_sum1 = max(max_sum1, cur_sum)
    max_sum2 = 0 # mid 右半部分的最大和（從起始向後累加）
 

    cur_sum = 0
    for num in nums[mid+1:]:
        cur_sum += num
        max_sum2 = max(max_sum2, cur_sum)
    max_sum = nums[mid] + max_sum1 + max_sum2
    
    # 返回三者的最大值
    return max(max_sum, maxSubArray(nums[:mid]), maxSubArray(nums[mid+1:]))

def maxSubArray2(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    動態規劃法
    """
    sub_max = nums[0] # 儲存前i項的最大子陣列之和
    last_max = nums[0] # 儲存前i項的且包含最後一位的最大子陣列之和
    
    for i in range(1, len(nums)):
        last_max = max(last_max + nums[i], nums[i])
        sub_max = max(sub_max, last_max)
        
    return sub_max

if '__main__' == __name__:
    nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
    print(maxSubArray2(nums))