Sol

設 $n=\lfloor\frac{c}{a}\rfloor$

問題轉化為求
$\underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}\lfloor$

c − a x b ⌋ + 1

= ∑ i = 0 n ⌊ − a x + b + c b ⌋ \sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{c-ax}{b}\rfloor+1=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{-ax+b+c}{b}\rfloor
考慮一般性的問題
設
$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor，c\ne 0$

1. 若 $c\le 0$，那麼 $f(a,b,c,n)=f(-a,-b,-c,n)$
2. 若 $a<0$ 或 $b<0$，那麼
   $f(a,b,c,n)=f(a~mod~c + c, b~mod~c + c, c, n) + \frac{n(n + 1)}{2} (\lfloor\frac{a}{c}\rfloor - 1) + (n + 1)(\lfloor\frac{b}{c}\rfloor - 1)$
3. 若 $a>=c$ 或 $b>=c$，那麼
   $f(a,b,c,n)=f(a~mod~c, b~mod~c, c, n) + \frac{n(n + 1)}{2}\lfloor\frac{a}{c}\rfloor + (n + 1)\lfloor\frac{b}{c}\rfloor$
4. 最後 $0\le a<c$ 且 $0\le b<c$
   設 $m=\lfloor\frac{an+b}{c}\rfloor$
   那麼
   $\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor\ge j]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor\ge j+1]$
   $=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai\ge cj+c-b]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai> cj+c-b-1]$