文章目錄

• 1.線性空間
• 1.1 線性空間的定義
• 1.2 線性空間的性質
• 1.3 線性空間的維數
• 1.4 線性空間的基
• 1.5 基變換與座標變換
• 1.5.1 基變換：
• 1.5.2 座標變換：
• 2. 線性子空間
• 2.1 定義
• 2.2 性質
• 2.3 子空間的運算
• 2.3.1 和空間
• 2.3.2 交空間
• 3. 矩陣的值域、核空間
• 3.1 向量張成的空間
• 3.2 矩陣的值域
• 3.3 矩陣的核空間

1.線性空間

1.1 線性空間的定義

設非空集合 $V$，一個數域 $K$， $x$

1. 加法封閉： 加法交換律、加法結合律、零向量、負向量。
2. 數乘封閉： 數對元素的分配律、元素對數的分配律、數因子結合律、單位向量。

1.2 線性空間的性質

1. 零元素唯一
2. 任一元素的負元素唯一
3. 設 數 $k,0,1\in K$，向量 $x, 0, -x \in V$，有：
   • $0x=0$
   • $(-1)x=-x$
   • $k0=0$
   • 若 $kx=0$, 則 $k=0$ 或 $x=0$

1.3 線性空間的維數

線性空間 $V$中線性無關向量組所含向量最大個數 $n$，稱為 $V$的維數，記作 $dimV = n$。

$n$ 維線性空間記作 $V^n$。

1.4 線性空間的基

$n$維線性空間中，任意 $n$個線性無關的向量 $x_1,x_2,...,x_n$，構成該空間的一組基。這n個線性無關的向量稱作基向量。

空間中任意一個向量 $x$ 可由這組基唯一表示，即 $x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$ 。
此時，稱 $a_1, a_2, ..., a_n$ 為 $x$ 在該基下的座標，記為 $[a_1, a_2, ..., a_n]^T$。

向量 $x$在基 $x_1,x_2,...,x_n$ 下的矩陣表示為：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$

1.5 基變換與座標變換

1.5.1 基變換：

設 $x_1,x_2,...,x_n$ 是 空間 $V^n$ 的舊基， $y_1,y_2,...,y_n$ 是新基。新基可以用舊基表示為