本系列文章由Titus_1996 原創，轉載請註明出處。  

文章連結：https://blog.csdn.net/Titus_1996/article/details/83144567

本系列文章使用的教材為《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。

為什麼引入不變子空間概念

為了分析線性變換的矩陣化簡與空間分解之間的聯絡。

不變子空間定義

總結：

• 在Vn(F)中的一個子空間，在子空間中的線性變換的值域在這個子空間中。

不變子空間的充要條件

 也就是說，

• 對於由{α1,α2,...αn}生成的子空間W，W是T的不變子空間可以推出:{α1,α2,...αn}由T作用後的值生成的空間仍然屬於W。

• 反過來，如果{α1,α2,...αn}由T作用後的值生成的空間仍然屬於W,則W是T的不變自空間。

• 簡單的理解就是，生成W空間的原像經過T線性變換後的像還在同一個W中，這就體現了不變性。

直和補子空間

我的理解是：Vn(F)這個線性空間可以分解為兩個子空間，這兩個子空間分別由兩組基{αi}，{βi}生成。那麼{αi，βi}一起就是Vn(F)的基了。對與這兩個子空間W和U，若W是不變子空間，那麼經過線性變換後的值只會是在W中，而不會在U中。這樣就有：

在前面的線性變換的矩陣那一篇中，特定基下的線性變換可以用基和對應的矩陣表示。在上面這個式子中，A1是W上的線性變換在基{αi}下的矩陣。細心的同學可以發現，在分塊矩陣中第一列只有A1，這就是因為W是不變子空間。思想就是要將Vn分解為兩個子空間，已經知道了W是不變子空間，另一個U不一定是不變子空間，所以第二列的第一個矩陣A2不為零，也就是說U中的基經過T變換後的值不一定在U中，會在W中，更籠統地說，U的基經過作用後的值域是屬於整個V的，因此就要用V的基去表示，只不過這列用兩組基和座標的分塊矩陣進行表示。

如果U也為不變子空間的話，就有A2也為0.

線性變換的矩陣分解為準對角形是與空間分解為不變子空間的直和問題是相對應的。

總結：

對於V可分解為s個不變子空間Wi，每一個子空間Wi的基在T變換都有一個矩陣Ai,用這些子空間的基構成V的基，則T在這組基下的矩陣為對角陣。

總結：

如果V的基下T的矩陣為準對角陣，將其分組為s個基，Wi就是T的不變子空間。注意s個基中元素的個數與矩陣A的階數是對應的。