【矩陣論】02——線性空間——基、維數與座標
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本系列文章使用的教材為《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。
基的定義
線上性空間V中，若存在n個元素
α1，α2，......，αn
滿足：
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α1，α2，......，αn線性無關
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V中任意元素α都可用α1，α2，......，αn線性表示。
那麼，α1，α2，......，αn就稱為線性空間的一組基，n稱為線性空間V的維數。
其實線性空間的基，就是求V的極大無關組。其不是唯一的。因此，求基的步驟為：
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求一組線性無關的向量組
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證明此無關組是極大的，也就是可以線性表示V中任意一個元素。
定理
n維線性空間中，任意n個線性無關的向量構成的向量組，都是空間的基。
座標的定義
線上性空間Vn(F)中，設{α1，α2，......，αn}是一組基，β為V中的一個元素，{α1，α2，......，αn，β}線性相關，故β可由α1，α2，......，αn唯一線性表示，因此有
則稱數x1,x2,......,xn是β在基{α1，α2，......，αn}下的座標
注意
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不論Vn(F)為什麼具體的線性空間，只要取定了一組基，Vn(F)中向量在該基下的座標都是線性空間Fn中的向量。由於這一特點，可以用數量矩陣和Rn中的向量來研究一般的線性空間中有關問題的基礎。
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一般同一向量在不同基下的座標是不同的。
同構（詳細瞭解）
加法保持不變，數乘保持不變。
座標關係建立了Vn(F)和Fn的一一對應關係σ。σ滿足
由此，我們可以得出對映關係
（Vn,F,+,。）→（Fn,F,+,.）
線性空間→數域
數域F上，任意一個n維線性空間Vn(F)都和n維線性空間Fn同構。
這種同構關係給人們解決未知空間的問題提出了思想方法，可以利用已知的去推出未知。要做的事就是，人們期望的座標確定了，是已知的，那麼要取得什麼樣的座標呢？這就要找到對映關係σ。有以下定理：
基於Vn(F)和Fn這種一一對應的關係保持線性關係不變，如果不計較向量的具體形式，僅就線性關係而言，Vn(F）中的問題就可以轉到熟悉的方法和已經建立的理論來解決了。