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本系列文章使用的教材為《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。

為了刻畫線性變換的性質，用矩陣處理線性變換。

線性變換矩陣的定義

首先對Vn(F)空間中的一組基{α1，α2...，αn}，空間中任意一個向量α都可以用表示。

在對上述等式兩邊做變換有

又因為T(α1),T(α2)......T(αn)是像空間中的元素，由前面線性變換基礎概念那篇文章中，我們知道線性變換不改變線性無關性，因此在像空間中任意一個元素T(α)都是由基{αi}的像T(αi)決定的，又因為像空間仍然是Vn(F)的子空間，所以線性變換後的像空間可以由基{α1，α2...，αn}表示：

用矩陣的形式為

最終有

稱A為T在基{α1，α2...，αn}下的矩陣

值得注意的地方

• 在選定基的情況下，T與A是一一對應的。

在選定基的情況下，原像的座標與像座標的關係月表示

• 在這裡分別表示了原像線上性空間選定基下的座標，像線上性空間選定基下的座標.

• 而上面我們得出了線性變換在特定基下的的矩陣表示，因此對原像的線性變換又可以轉化為對基的變換，並且可以用基和矩陣進行表示。

• 因此我們發現了共同點：原像是用基和矩陣表示的，線性變換後的像也是由基和矩陣表示的。那麼兩個矩陣之間的關係就可以刻畫線性變換的性質

  了。Y=AX就是變換在給定基下的座標式。線性變換的運算與各自的矩陣相應的運算是對應的，具體如下：

同一個線性變換在不同基下矩陣之間的關係

需要注意的是，線性變換的矩陣是與空間中選定的基相聯絡的，選定的基改變，則同一個線性變換會有不同的矩陣。

下面我們來看一下同一個線性變換在不同基下矩陣的關係。

首先看一下同一空間的兩組基之間的關係，這是在前面的線性空間基變換與座標變換那一篇文章中提到過的。

再設在兩組基下的線性變換的矩陣分別為A,B，則有

對上面基變換等式兩邊都進行T作用得

對比第二和第三的過程，發現

因此有如下定理

注意方向，從{αi}到{βi}

從上面的定理可知：B與A相似。即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。相反，也可以由兩個相似矩陣，又已知A是T在某組基下的矩陣，則一定可找到另外一組基，使得T在該基下的矩陣為B。C就是過渡矩陣。