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本系列文章使用的教材為《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。

為什麼引入內積空間？

線上性代數中，我們學過內積的概念，通過內積我們可以解決向量長度，夾角，正交，等度量有關的問題。這是在幾何空間中。現在推廣到線性空間中，並建立度量關係。

內積空間

總結一下：

• 內積（α，β）其實就是一個F上的數。

• 內積空間是一種對映，從Vn(F)→F的對映。

• 這個對映滿足上面的三條性質。

注：

• 在同一個線性空間上，可以定義不同的內積。也就是說內積是自己定義的，但一定要滿足性質。

歐式空間和酉空間

[Vn(F);(α，β)]: 當數域F為R為歐式空間，當數域F為C為酉空間。

注：在複數空間中，矩陣A的共軛是對每一個元素取其共軛複數後得到的矩陣。A的共軛轉置記為AH=(A')T

柯西不等式

也可寫為:

三角不等式：

向量長度的性質

正交的概念

在內積空間中，若(α，β)=0，則α與β是正交的。

若，則{α1，α2，......αn}為標準正交向量組。

注：不含零向量的正交向量組是線性無關的，這個向量組就是Vn(F)的基，標準正交基。

把正交化與標準化結合在一起，從一組基得到標準正交基，

用矩陣表示：