最近整理筆記時，突然翻出幾年前理解起來困難無比的看毛片（KMP）演算法，筆記中詳述了搜尋過程，圖文並茂，然而在最最重要的next陣列部分卻是一帶而過，於是找出當年的教材，也只是寫了getnext()函式，想著上網找一找圖文並茂的舉例，結果這一找徹底蒙比，眾說紛紜，同樣一個子串，處理得到的“next陣列”全不一樣，拋開陣列以0開始還是以1開始這一問題，還有三種不同的結果。

    事實上這三種“next陣列”的結果都沒有錯，只是他們涉及到了KMP匹配過程的兩種理解。在後文中將說明這三者之間的區別、轉換以及所屬的KMP匹配過程的演示。

第一部分    KMP演算法與next陣列的基本認識

    設主串為T，帶搜尋的子串為S，i表示T遍歷到了哪個字元，j表示S遍歷到了哪個字元：

    暴力查詢方法通常會在T[i]!=S[j]時，j和j都回退，而KMP的核心就是主串不回退，即i只增不減，j相應的改變。而j依何改變？這就需要提前處理T子串，生成相應的next陣列（這裡所說的next陣列其實並不完善，後文中將會提到改良版的nextval陣列）。

    那麼next陣列代表的是什麼意思呢？通俗點說就是，這次沒配上，下次找誰配。next數組裡存的就是下次交配物件...不對，是匹配物件...

    正是因為KMP只預處理子串，因此很適合這樣一種問題的求解：給定一個S子串，和一群不同的T主串，問S是哪些T的子串。

第二部分    KMP演算法的兩種匹配過程

    同我一樣迷惑於許多部落格中講述的“互相矛盾的”匹配過程的童鞋請重點看這一部分，接下來我將說明，為何明明很好理解的主串不回退匹配過程會有那麼多不同的聲音，因為它們根..本..不..是..一..個..過..程..!!!

    這也是為什麼關於next陣列會有那麼多版本的不同解釋，先約束下，本文中用到的陣列以1開始（以0開始也一樣整體減1就好了，網上next陣列第一位為-1的就是陣列以0開始的）。

    下表中Lmax代表失配字元上一位字元所對應部分子串的最大前後綴共有元素長度，也就是部分匹配值，next代表存在一些瑕疵的next陣列，nextval代表改良版的next陣列。

1	2	3	4	5	6	7	8
S	a	b	a	a	b	c	a	c
Lmax	0	0	1	1	2	0	1	0
next	0	1	1	2	2	3	1	2
nextval	0	1	0	2	1	3	0	2

    第二行S="abaabcac"就是帶查詢的子串，第三四五行是對S處理後得到Lmax、next、nextval陣列（這三個陣列是怎麼得到的將在第三部分說明，這裡為了演示兩種不同的KMP匹配方法先直接給出）。

1.部分匹配值法

    推薦部落格：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm.html  詳細且圖文並茂（只可惜沒有next陣列什麼事），能夠幫助大家快速理解KMP到底要幹什麼。

    

T[4]=b，S[4]=a，這裡就不匹配了，而前三個“aba”是匹配的，最後一個匹配字元S[3]=a對應的Lmax[3]=1，因此按照下面的公式算出向後移動的位數： 移動位數=已匹配字元數-部分匹配值（即Lmax[i]）=3-1=2 因此S向後移動2位：
注意，這裡只是單純的S子串向後移動兩位，不涉及j變化成什麼（可以推出j變為什麼，但是不是Lmax直接賦值給j） 2.next陣列法
    推薦部落格：http://blog.csdn.net/guo_love_peng/article/details/6618170  寫的真心好，這個才是KMP演算法中正宗的next陣列。     同樣是上圖中的例子，接下來用到的是next/nextval陣列法： (1)next/nextval通用例子：

T[4]=b，S[4]=a，不匹配，查上表知nextval[4]=2(巧了next[4]也等於2，事實上大多數情況下二者都相等)，因此j=nextval[4]=2，如下圖：

(2)證明next有瑕疵，nextval完美的例子

T[3]=b，S[3]=a，不匹配，查上表知nextval[3]=0(next[3]也等於1，不相等)
先看next[3]=1的情況：
T[3]=b，S[1]=a，不匹配，查上表知next[1]=0，則j=next[1]=0：

i++，j++，繼續匹配：

接下來是nextval[3]=0的情況：

    next[3]=1需要經過步驟，而nextval[3]=0只要一步就搞定，為什麼呢？
    其實，既然T[3]=b不等於S[3]=a，而S[3]=S[1]=a，那麼T[3]=b就一定不等於S[1]=a，既然如此，那麼步驟就多此一舉了，這也就是next的瑕疵之所在，而nextval是在next基礎上的一個改良版，避免了不必要的匹配過程。 第三部分    Lmax、next、nextval陣列的獲取方法及轉換
1.最大共有元素長度（部分匹配值）Lmax

//虛擬碼如下
Lmax[1]=0;
j=0;
for i=2 to n do{
  while j>0 and S[j+1]!=S[i]
    do j=Lmax<span style="font-size: 12px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">[j];</span>
  if S[j+1]=S[j]
    then j++;
  Lmax[i]=j;
}

2.next陣列（改良前的）
獲取方法：
(1)next[1]=0，next[2]=1    （固定）
(2)之後的每一位next值根據上一位進行比較，前一位值與其next值對應的內容相比較：
a.如果相等，則該位的next值就是前一位的next值加上1
b.如果不相等，向前繼續找next值對應的內容與前一位進行比較，知道找到某一位內容的next值對應的內容與前一位相等，則此next值加上1即為該位的next值
c.如果找到第一位都沒有與前一位相等的內容，那麼該位next值為1

3.nextval陣列（改良後的next）

//虛擬碼如下
i=1;
j=0;
nextval[1]=0;
while i<S[0]{
  whlie j>0 and S[i]!=S[j]
    do j=nextval[j];
  i++;
  j++;
  if S[i]=S[j]
    then nextval[i]=nextval[j];
  else
    then nextval[i]=j;
}

4.最大共有元素長度Lmax，next，nextval陣列之間的轉換 (1)Lmax->next： 右移一位，最左補-1，最右刪去，整體加1

1	2	3	4	5	6	7	8
S	a	b	a	a	b	c	a	c
Lmax	0	0	1	1	2	0	1	0
next	0	1	1	2	2	3	1	2
nextval	0	1	0	2	1	3	0	2

Lmax="00112010"  ->  "-10011201"  ->  "01122312"=next
(2)next->nextval：
<1>nextval[1]=0    （固定）
<2>從第二位開始（i=2），若要求nextval[i]，將next[i]的值對應位的值與i的值進行比較：
a.若相等，則nextval[i]=nextval[next[i]]
b.若不相等，則nextval[i]=next[i]

1	2	3	4	5	6	7	8
S	a	b	a	a	b	c	a	c
Lmax	0	0	1	1	2	0	1	0
next	0	1	1	2	2	3	1	2
nextval	0	1	0	2	1	3	0	2

根據此表中next陣列的值，可推出nextval陣列的值，可自行推導，這裡不再贅述