題意：在一串連續的字串中尋找它的最長子串（Longest Palindromic Substring）

輸入：先從標準輸入讀取一個整數N（N<=30)，代表字串的個數，接下來N行給出N個字串（字串長度<=10^6)

輸出：最長迴文子串長度

題目分析：很自然地想到這樣的演算法，長度為n的字串，它的最大回文子串長度為n，那麼按長度遞減的順序去原串中查詢，依次尋找是否有長度為n、n-1、n-2……的子串，一旦找到就跳出迴圈；迴文串的判斷則用一個函式實現，從兩端往中間比較。方法是對的，不過這個演算法的時間複雜度是O(N^3)，題目的字串可能很長（10^6），肯定會超時。

上面的求解思路，我們容易發現，它實際上會進行很多重複的比較。假設字串為：

如何減少重複比較是提升演算法效率的關鍵。實際上，解決該問題有個很經典的演算法：Manacher演算法，下面來看它是如何減少重複比較次數的。

Manacher演算法判斷迴文串的方法和上述略微不同，它是從中心字元出發，向兩端移動比較，但是這樣只能解決長度為奇數的字串判斷，因為對於偶數長度，實際上並不存在所謂的中心字元。這裡有個巧妙的方法，將所有字串都轉化成奇數長度：在原串的每兩個字元之間都填上一個特殊字元（它不能存在於原串中，一般用‘

       Manacher演算法從頭開始對每個字元計算以它為中心的最長迴文串長度，遍歷一次得到最長迴文串長度。當然如果老老實實對每個字元都從±1的位置開始比較，那麼演算法時間複雜度是O(N^2)，Manacher演算法當然不是這麼做的。

定理1. 假設有迴文串S，其中心下標為md，則有S[md+i] = S[md-i], i≤S.length()/2.

推論1. 假設有迴文串S，其中心下標為md，i,j (i < j)是關於md對稱的兩個下標，則由定理

推論2. 若用lps[]存放S中每個字元為中心的最長迴文串長度，由推論1，在S的範圍內，有lps[j]= lps[i]，因為i = md-(j-md)，也可以寫作lps[j] = lps[2*md - j].

推論3. 假設有迴文串S，其中心下標為md，i,j (i < j)是關於md對稱的兩個下標，則由推論2，有lps[j]= min{ lps[i], mx - j }或lps[j]= min{lps[2*md - j], mx - j}，其中mx為S的右端。

下圖解釋了推論3中的min操作，假如lps[i]沒有超過S的邊界，那麼lps[j] = lps[i];假如lps[i]超過或恰好到達S的邊界，那麼超過的部分，lps[i]無法成為lps[j]的保證，從越過邊界(mx)的位置開始，lps[j]必須往兩端一一比較，lps[j]=mx - j（這裡有個等價關係，lps[]既表示去掉#以後最長迴文串長度，也表示#存在時單邊的長度）。推論3中的這條語句，是Manacher演算法的核心，理解了它也就理解了Manacher演算法。

下面給出完整的程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char str[2000005];
int  lps[2000005];
int Manacher(string s)//manacher algorithm
{
	int length = s.size(), j = 2;
	str[0] = '$'; str[1] = '#';
	//插入#
	for(int i = 0; i < length; i++)//$#c#c#c#'\0'
	{
		str[j++] = s[i];
		str[j++] = '#';
	}
	str[j] = '\0';
	length = (length << 1) + 2;
	
	lps[0] = 1;
	int mx = 0, md = 0, max_len = 0;//當前迴文串能達到的最右端，及其中心
	for(int i = 1; i<length; i++)
	{
		if(i >= mx)  lps[i] = 1;
		else  lps[i] = min(lps[2*md-i], mx-i);
		while(str[i-lps[i]] == str[i+lps[i]])
			lps[i]++;

		if(i+lps[i] > mx)
		{
			mx = i+lps[i];
			md = i;
		}
		if(lps[i] > max_len)  
			max_len = lps[i];
	}
	printf("%d\n", max_len-1);
}
int main()
{
	int n;  
	string s;
	cin >> n;
	while(n--)
	{
		cin >> s;
		Manacher(s);
	}
	return 0;
}

上述程式碼的實現和之前討論略有不同，一個處理細節是在開頭加上了'$'，這是因為字串結尾為'\0'，所以需要在頭部加一個字元維持奇數長度；另外，如果加'#'，那麼在字串#a#b#a#c#d#a#計算第一個a的lps值時，會越過0的陣列邊界。所以在開頭加'$'充當“哨兵”，這樣就免去了在while迴圈中判斷越界，另外在字串的末尾，有'\0'保證不會越界，如果同時到達了字串的開頭和末尾，因為'#'!='$'，所以也不會越界。