本文收集了從 2009 年至今復旦大學數學學院高等代數歷屆期中考試精選的大題, 其中有的大題由習題課老師或任課老師自編而來, 有的大題由其他大學的教材或學習指導書中的題目或考研試題改編而來, 也有相當部分的大題已經融入到復旦高等代數學習指導書 (第三版) 中了. 這裏我們將不會公布這些精選大題的解答, 但會附加一些註解, 以供讀者參考.

本科 16 級高代 I 期中考試

四、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 階非零實矩陣, 其中 $n\geq 3$ 為奇數. 設 $A_{ij}$ 為 $a_{ij}$ 的代數余子式, 若對任意的 $1\leq i,j\leq n$, $a_{ij}+A_{ij}=0$ 成立, 試求 $|A|$ 的值.

五、(10分) 設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $n$ 個兩兩不同的實數, 求證: 在實數域上連續函數全體構成的線性空間 $V$ 中, 向量組 $\{e^{\alpha_1x^2},e^{\alpha_2x^2},\cdots,e^{\alpha_nx^2}\}$ 線性無關.

六、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 為奇異陣且滿足 $\mathrm{tr\,}(A^*)=0$, 求證: $(A^*)^2=0$.

七、(10分) 設 $M_n(K)$ 為數域 $K$ 上 $n$ 階方陣全體構成的線性空間, $W$ 是由 $M_n(K)$ 的子集 $\{AB-BA\mid A,B\in M_n(K)\}$ 張成的子空間, 試求 $W$ 的維數及其一組基.

註 第四大題與白皮書例 2.21 和例 2.26 相關; 第五大題與白皮書第三章解答題第 3 題相關; 第六大題與白皮書例 3.77 和例 2.11 相關; 第七大題與白皮書例 2.40 和基礎矩陣的性質 (白皮書第 55 頁) 相關, 註意本題不必利用白皮書例 7.54 的結論 (這個結論太強, 並用到了 Jordan 標準型理論).

本科 16 級高代 II 期中考試

四、(10分) 求證: 存在 $n$ 階實方陣 $A$, 滿足 $A^2+2A+5I_n=0$ 的充分必要條件是 $n$ 為偶數.

五、(10分) 設 $n$ 階復矩陣 $A,B$ 滿足 $AB-BA=\mu B$, 其中 $\mu$ 為非零復數. 證明: 若 $A$ 的全體不同特征值只有 $k$ 個, 則 $$\sum_{\lambda\in\mathbb{C}}\Big(n-r(\lambda I_n-A)\Big)\leq n-r(B^k).$$

六、(10分) 設 $V$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi$ 的極小多項式等於其特征多項式. 設 $U$ 是 $V$ 的任一非零 $\varphi-$不變子空間, 證明: 限制變換 $\varphi|_U$ 的極小多項式也等於其特征多項式.

七、(10分) 設 $V$ 是 $n$ 階復矩陣構成的線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=AXA‘$, 證明: $\varphi$ 可對角化的充分必要條件是 $A$ 可對角化.

註 第四大題是有理標準型的直接應用; 第五大題的推廣請參考博文《從一道常見習題的自然延伸談起》; 第六大題請參考博文《Jordan 塊的幾何》; 第七大題與白皮書例 6.71 有關.

復旦大學數學學院高等代數歷屆期中考試大題精選（未完待續）