一個數的序列  b_i，當  b₁ <  b₂ < ... <  b_S的時候，我們稱這個序列是上升的。對於給定的一個序列(  a₁,  a₂, ...,  a_N)，我們可以得到一些上升的子序列(  a_i1,  a_i2, ...,  a_iK)，這裡1 <=  i₁<  i₂ < ... <  i_K <= N。比如，對於序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。這些子序列中最長的長度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8). 

你的任務，就是對於給定的序列，求出最長上升子序列的長度。 Input輸入的第一行是序列的長度N (1 <= N <= 1000)。第二行給出序列中的N個整數，這些整數的取值範圍都在0到10000。 Output最長上升子序列的長度。 Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

4

 【題解】首先介紹O(n2)演算法

 定義dp[i] 為以i結尾的最長上升子序列的長度

 以ai結尾的最長上升子序列的長度為dp[i]和dp[j]+1中較小的一個，（j<i），最後答案就是dp[n]，n為元素個數。

  【程式碼】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int m,n;
int dp[100000];

int main()
{
    int a[100000];
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        for(int i=0;i<m;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        int ans=0;

        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            dp[i]=1;
            for(int j=0;j<i;++j)
            {
                if(a[i]>a[j])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
 

  接下來介紹複雜度O(nlogn)演算法

  最開始全部初始化為INF，然後由前到後逐個考慮數列的元素，對於每個a[j]，如果i=0或者dp[i-1]<a[j]的話，就用dp[i]=min(dp[i],a[j])更新，最終找出使得dp[i]<INF的最大元素下標，此下標值i+1就是最長序列值了，因為dp數列中除了INF外都是單調遞增的，所以可以用二分查詢，這樣整個過程的時間複雜度就降到了nlogn，這個過程中可以用函式lower_bound，此函式具體介紹參閱 http://blog.csdn.net/qq_38538733/article/details/75212045

 【程式碼】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m,n;
int a[100000];
int dp[100000];
const int INF=1e9+7;

int main()
{
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        for(int i=0;i<m;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        int ans=0;
        fill(dp,dp+m,INF);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            *lower_bound(dp,dp+m,a[i])=a[i];
        }
        printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+m,INF)-dp);
    }
    return 0;
}