原題地址

題目描述Description

已知整數x,y滿足如下面的條件:

ax+by+c = 0

p<=x<=q

r<=y<=s

求滿足這些條件的x,y的個數。

輸入描述Input Description

第一行有一個整數n（n<=10），表示有n個任務。n<=10

以下有n行，每行有7個整數，分別為：a,b,c,p,q,r,s。均不超過10⁸。

輸出描述Output Description

共n行，第i行是第i個任務的解的個數。

樣例輸入Sample Input

2

2 3 -7 0 10 0 10

1 1 1 -10 10 -99

樣例輸出Sample Output

1

19

一道擴歐定理的應用題，問題是資料神TM坑啊……

解題思路

1.首先我們可以很直觀地看出來這是用擴充套件歐幾里得演算法解二元一次方程，但問題是我們所熟悉的擴歐能解的方程都是ax+by=gcd(a,b)形式的，而題目給出的是ax+by=-c形式。舉個例子：

2x+4y=18，首先我們可以換成x+2y=9形式。9不是2和4的最大公約數1，但9是1的倍數，所以如果我們解出一組x,y滿足x+2y=1，那麼x和y都乘上9/1就是原方程的一組解了。如果c/gcd(a,b)==0，那麼就沒有整數解。

2.如今我們得到了一組x,y，根據擴歐定理的後續內容，適合的解系一定是(x+bk,y-ak)，注意現在的a,b是簡化後的方程的係數（拿上面提到的例子講，現在a=1,b=2），列舉找在區間內的解的個數（組數）就好。

3.現在解決各種WA/TLE/RE問題：

（1）方程無解：c/gcd(a,b)==0，直接輸出0；

（2）區間不合法：題目中沒有保證區間左端點小於右端點，所以如果讀入的區間不合法，直接輸出0；

（3）a=0或b=0：

if((a==0)&&(y<r||y>s)) {printf("0\n");continue;}

     if((b==0)&&(x<p||x>q)) {printf("0\n");continue;}

因為不管加多少，x/y還是原來的味道……但是如果不加特判可能會導致TLE（這個跟程式碼具體的寫法有關，我後面有用while迴圈，直接卡T了）

（4）a==0&&b==0：

RE的關鍵所在，因為gcd求出來是0……這個需要認真思考一下，如果c!=0，顯然方程不成立，無解；如果c==0，x和y就可以任意取了，由乘法原理可得解的個數就是兩個區間內部整數點的個數的乘積

if (c!=0)printf("0\n");

else

{

    ll cnt=(q-p+1)*(s-r+1);

    printf("%lld\n",cnt);

}         

continue;

（5）記得要開long long

兩個神坑的資料點：

4

0 1 2 0 0 0 2

1 0 2 0 0 0 0

1 0 2 0 2 0 20

2 0 3 -10 10 -10 10

ans：0   0   0   0

4

0 0 0 -1 1 -1 1

0 0 0 1 -1 1 2

0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 -3406792423987599 -23487749 23947250

ans：9   0   0   2753863780940000

參考程式碼：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,c,p,q,r,s,x,y;
 
ll gcd(ll x,ll y)
{
    while (y)
    {
       int t=y;
       y=x%y;
       x=t;
    }
    return x;
}
 
void exgcd(ll a,llb,ll&x,ll&y)
{
    if (b==0){x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
}
 
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
       scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&p,&q,&r,&s);  
       int g=gcd(a,b);
       if (q<p||s<r)
       {
           printf("0\n");
           continue;
       }
        if(g==0)
       {
          if (c!=0)printf("0\n");
           else
           {
              ll cnt=(q-p+1)*(s-r+1);
              printf("%lld\n",cnt);
           }         
           continue;
       }
       ll tmp=c*(-1)/g;
       exgcd(a,b,x,y);
       if(c%g!=0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
       x*=tmp;
       y*=tmp;
       a/=g;
       b/=g;
       if(b<0) {b*=(-1);a*=(-1);}
       if ((a==0)&&(y<r||y>s)){printf("0\n");continue;}
       if ((b==0)&&(x<p||x>q)){printf("0\n");continue;}
       while (x>=p)  //先把x調到最左端；
        {
           x-=b;
           y+=a;
        }
       int cnt=0;
        while(x<p)
        {
           x+=b;
           y-=a;
        }
       while(x>=p&&x<=q&&y>=r&&y<=s)  //列舉區間內所有可行解；
        {
           cnt++;
           x+=b;
           y-=a;
           if (x<p||x>q||y<r||y>s) break;  
        }     
       cout<<cnt<<endl;
    }
    return 0;
}