歐幾里得演算法

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在歐幾里得著的《幾何原本》裡面，有用線段的劃分來講解這個數學方法的，這裡我們從代數而不是幾何上來講，並且側重於演算法OI競賽。

歐幾里得演算法（$gcd$），又稱輾轉相除法，可以用來快速計算兩個整數的最大公約數，並有許多擴充套件應用。

下面我們來看公式:
$gcd(n,m)=gcd(m,n\ \rm mod\ m)$

我們可以簡單的證明一下這個公式的正確性:
我們令$g=gcd(n,m)$，那麼顯然$g|n,g|m$

所以程式碼就簡單啦!
遞迴邊界為$m=0$時，因為模數不能為0，所以此時就可以直接返回$n$。

int gcd(int n,int m){
	if(!m) return n;
	else return gcd(m,n%m); 
}//也可以用自帶的__gcd(n,m);

擴充套件歐幾里得演算法

• 前置

• 裴蜀定理（貝祖定理）

內容:對於一個係數為整數（$a,b,c$為整數）的二元一次方程$ax+by=c$，若其存在整數解，當且僅當$gcd(a,b)|c$。
用處:判斷一個上述的二元一次方程是否有整數解。

簡單的證明：
我們令$g=gcd(a,b)$，同樣的我們可以將$a,b$寫成$a=k_1g,b=k_2g$，那麼顯然$ax+by=g(k_1x+k_2y)$，所以$g|(ax+by)$。

所以當$gcd(a,b)|c$時必然有整數解，下面我們將在擴充套件歐幾里得演算法講解給出證明，及其整數解的求法。

正題

• Exgcd

$ax+by=c$在$c|gcd(a,b)$前提下是否一定有整數解呢？

因為有了前提，所以我們可以將原式寫成$ax+by=k\cdot gcd(a,b)$，由於$k$為整數，那麼如果$ax+by=gcd(a,b)$有整數解，那麼原式一定有整數解（倍數關係），那麼只需證明並求出$ax+by=gcd(a,b)$的一組特殊解$(x_1,y_1)$，然後所有的解都可以表示出來（原來的解就是現在解的$k$倍）。

所以現在我們只需證明$ax+by=gcd(a,b)$有解即可。

通過$gcd$的遞推式可知，我們如果的到如下式子的一組解：
$bx+(a\ \rm mod\ b)y=gcd(b,a\ \rm mod\ b)$
令解為$(x_1,y_1)$，那麼就有如下推導:
$ax+by=bx_1+(a\ \rm mod\ b)y_1$
$=bx_1+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b)y_1$
$=ay_1+(x_1-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y_1)b$
一個小引理當$ax+by=az+bk$，必然$x,y$有一組解為$x=z,y=k$。
$ax+by=ay_1+(x_1-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y_1)b$
所以有一組解為