這一篇我們要總結的是圖(Graph)，圖可能比我們之前學習的線性結構和樹形結構都要複雜，不過沒有關係，我們一點一點地來總結，那麼關於圖我想從以下幾點進行總結：

1，圖的定義？

2，圖相關的概念和術語？

3，圖的建立和遍歷？

4，最小生成樹和最短路徑？

5，演算法實現？

一，圖的定義

什麼是圖呢？

圖是一種複雜的非線性結構。

線上性結構中，資料元素之間滿足唯一的線性關係，每個資料元素(除第一個和最後一個外)只有一個直接前趨和一個直接後繼；

在樹形結構中，資料元素之間有著明顯的層次關係，並且每個資料元素只與上一層中的一個元素(雙親節點)及下一層的多個元素(孩子節點)相關；

而在圖形結構中，節點之間的關係是任意的，圖中任意兩個資料元素之間都有可能相關。

圖G由兩個集合V(頂點Vertex)和E(邊Edge)組成，定義為G=(V，E)

二，圖相關的概念和術語

1，無向圖和有向圖

對於一個圖，若每條邊都是沒有方向的，則稱該圖為無向圖。圖示如下：

因此，(V_i，V_j)和(V_j，V_i)表示的是同一條邊。注意，無向圖是用小括號，而下面介紹的有向圖是用尖括號。

無向圖的頂點集和邊集分別表示為：

V(G)={V₁，V₂，V₃，V₄，V₅}

E(G)={(V₁，V₂)，(V₁，V₄)，(V₂，V₃)，(V₂，V₅)，(V₃，V₄)，(V₃，V₅)，(V₄

對於一個圖G，若每條邊都是有方向的，則稱該圖為有向圖。圖示如下。

因此，<V_i，V_j>和<V_j，V_i>是兩條不同的有向邊。注意，有向邊又稱為弧。

有向圖的頂點集和邊集分別表示為：

V(G)={V₁，V₂，V₃}

E(G)={<V₁，V₂>，<V₂，V₃>，<V_3，V₁>，<V₁，V₃>}

2，無向完全圖和有向完全圖

我們將具有n(n-1)/2條邊的無向圖稱為無向完全圖。同理，將具有n(n-1)條邊的有向圖稱為有向完全圖。

3，頂點的度

對於無向圖，頂點的度表示以該頂點作為一個端點的邊的數目。比如，圖(a)無向圖中頂點V₃

對於有向圖，頂點的度分為入度和出度。入度表示以該頂點為終點的入邊數目，出度是以該頂點為起點的出邊數目，該頂點的度等於其入度和出度之和。比如，頂點V₁的入度ID(V₁)=1，出度OD(V₁)=2，所以D(V₁)=ID(V₁)+OD(V₁)=1+2=3

記住，不管是無向圖還是有向圖，頂點數n，邊數e和頂點的度數有如下關係：

因此，就拿有向圖(b)來舉例，由公式可以得到圖G的邊數e=(D(V₁)+D(V₂)+D(V₃))/2=(3+2+3)/2=4

4，子圖

故名思義，這個就不解釋了。

5，路徑，路徑長度和迴路

路徑，比如在無向圖G中，存在一個頂點序列V_p,V_i1,V_i2,V_i3…，V_im，V_q，使得(V_p,V_i1)，(V_i1,V_i2)，…,(V_im,V_q)均屬於邊集E(G)，則稱頂點V_p到V_q存在一條路徑。

路徑長度，是指一條路徑上經過的邊的數量。

迴路，指一條路徑的起點和終點為同一個頂點。

6，連通圖(無向圖)

連通圖是指圖G中任意兩個頂點V_i和V_j都連通，則稱為連通圖。比如圖(b)就是連通圖。下面是一個非連通圖的例子。

上圖中，因為V₅和V₆是單獨的，所以是非連通圖。

7，強連通圖(有向圖)

強連通圖是對於有向圖而言的，與無向圖的連通圖類似。

8，網

帶”權值”的連通圖稱為網。如圖所示。

三，圖的建立和遍歷

1，圖的兩種儲存結構

1) 鄰接矩陣，原理就是用兩個陣列，一個數組儲存頂點集，一個數組儲存邊集。下面的演算法實現裡邊我們也是採用這種儲存結構。如下圖所示：

2) 鄰接表，鄰接表是圖的一種鏈式儲存結構。這種儲存結構類似於樹的孩子連結串列。對於圖G中每個頂點V_i，把所有鄰接於V_i的頂點V_j鏈成一個單鏈表，這個單鏈表稱為頂點V_i的鄰接表。

2，圖的兩種遍歷方法

1) 深度優先搜尋遍歷

深度優先搜尋DFS遍歷類似於樹的前序遍歷。其基本思路是：

a) 假設初始狀態是圖中所有頂點都未曾訪問過，則可從圖G中任意一頂點v為初始出發點，首先訪問出發點v，並將其標記為已訪問過。

b) 然後依次從v出發搜尋v的每個鄰接點w，若w未曾訪問過，則以w作為新的出發點出發，繼續進行深度優先遍歷，直到圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。

c) 若此時圖中仍有頂點未被訪問，則另選一個未曾訪問的頂點作為起點，重複上述步驟，直到圖中所有頂點都被訪問到為止。

圖示如下：

注：紅色數字代表遍歷的先後順序，所以圖(e)無向圖的深度優先遍歷的頂點訪問序列為：V₀，V₁，V₂，V₅，V₄，V₆，V₃，V₇，V₈

如果採用鄰接矩陣儲存，則時間複雜度為O(n²)；當採用鄰接表時時間複雜度為O(n+e)。

2) 廣度優先搜尋遍歷

廣度優先搜尋遍歷BFS類似於樹的按層次遍歷。其基本思路是：

a) 首先訪問出發點V_i

b) 接著依次訪問V_i的所有未被訪問過的鄰接點V_i1，V_i2，V_i3，…，V_it並均標記為已訪問過。

c) 然後再按照V_i1，V_i2，… ，V_it的次序，訪問每一個頂點的所有未曾訪問過的頂點並均標記為已訪問過，依此類推，直到圖中所有和初始出發點Vi有路徑相通的頂點都被訪問過為止。

圖示如下：

因此，圖(f)採用廣義優先搜尋遍歷以V₀為出發點的頂點序列為：V₀，V₁，V₃，V₄，V₂，V₆，V₈，V₅，V₇

如果採用鄰接矩陣儲存，則時間複雜度為O(n²)，若採用鄰接表，則時間複雜度為O(n+e)。

四，最小生成樹和最短路徑

1，最小生成樹

什麼是最小生成樹呢？在弄清什麼是最小生成樹之前，我們需要弄清什麼是生成樹？

用一句語簡單概括生成樹就是：生成樹是將圖中所有頂點以最少的邊連通的子圖。

比如圖(g)可以同時得到兩個生成樹圖(h)和圖(i)

知道了什麼是生成樹之後，我們就很容易理解什麼是最小生成樹了。所謂最小生成樹，用一句話總結就是：權值和最小的生成樹就是最小生成樹。

比如上圖中的兩個生成樹，生成樹1和生成樹2，生成樹1的權值和為：12，生成樹2的權值為：14，我們可以證明圖(h)生成樹1就是圖(g)的最小生成樹。

那麼如何構造最小生成樹呢？可以使用普里姆演算法。

2，最短路徑

求最短路徑也就是求最短路徑長度。下面是一個帶權值的有向圖，表格中分別列出了頂點V1其它各頂點的最短路徑長度。

表：頂點V₁到其它各頂點的最短路徑表

從圖中可以看出，頂點V₁到V₄的路徑有3條(V₁，V₂，V₄)，(V₁，V₄)，(V₁，V₃，V₂，V₄)，其路徑長度分別為15，20和10，因此，V₁到V₄的最短路徑為(V₁，V₃，V₂，V₄)。

那麼如何求帶權有向圖的最短路徑長度呢？可以使用迪傑斯特拉(Dijkstra)演算法。