中國剩餘定理

     中國剩餘定理是中國古代求解一次同餘方程組的方法，是數論中的一個重要定理。

     設m1，m2，m3，...，mk是兩兩互素的正整數，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

則同餘方程組：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意義下，存在唯一的x，滿足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以寫為這種形式：

x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)

      其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'為mi在模ni乘法下的逆元。

中國剩餘定理非互質版

    中國剩餘定理求解同餘方程要求模數兩兩互質，在非互質的時候其實也可以計算，這裡採用的是合併方程的思想。下面是詳細推導。

例

1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <cstring>  
4. using namespace std;  
5. typedef __int64 int64;  
6. int64 a[15],b[15];  
7. int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
8. {  
9.     if(b==0)  
10.     {  
11.         x=1,y=0;  
12.         return a;  
13.     }  
14.     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
15.     int64 t = x;  
16.     x = y;  
17.     y = t - a/b*y;  
18.     return d;  
19. }  
20. //求解模線性方程組x=ai(mod ni)  
21. int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)  
22. {  
23.     int i;  
24.     int64 N = 1;  
25.     int64 result = 0;  
26.     for(i = 0; i < len; i++)  
27.         N = N*n[i];  
28.     for(i = 0; i < len; i++)  
29.     {  
30.         int64 m = N/n[i];  
31.         int64 x,y;  
32.         Extend_Euclid(m,n[i],x,y);  
33.         x = (x%n[i]+n[i])%n[i];  
34.         result = (result + m*a[i]*x%N)%N;  
35.     }  
36.     return result;  
37. }  
38. int main()  
39. {  
40.     int n;  
41.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
42.     {  
43.         for(int i = 0; i < n; i++)  
44.             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
45.         printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));  
46.     }  
47.     return 0;  
48. }  

1. /** 
2. 中國剩餘定理（不互質） 
3. */  
4. #include <iostream>  
5. #include <cstdio>  
6. #include <cstring>  
7. using namespace std;  
8. typedef __int64 int64;  
9. int64 Mod;  
10. int64 gcd(int64 a, int64 b)  
11. {  
12.     if(b==0)  
13.         return a;  
14.     return gcd(b,a%b);  
15. }  
16. int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
17. {  
18.     if(b==0)  
19.     {  
20.         x=1,y=0;  
21.         return a;  
22.     }  
23.     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
24.     int64 t = x;  
25.     x = y;  
26.     y = t - a/b*y;  
27.     return d;  
28. }  
29. //a在模n乘法下的逆元，沒有則返回-1  
30. int64 inv(int64 a, int64 n)  
31. {  
32.     int64 x,y;  
33.     int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y);  
34.     if(t != 1)  
35.         return -1;  
36.     return (x%n+n)%n;  
37. }  
38. //將兩個方程合併為一個  
39. bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3)  
40. {  
41.     int64 d = gcd(n1,n2);  
42.     int64 c = a2-a1;  
43.     if(c%d)  
44.         return false;  
45.     c = (c%n2+n2)%n2;  
46.     c /= d;  
47.     n1 /= d;  
48.     n2 /= d;  
49.     c *= inv(n1,n2);  
50.     c %= n2;  
51.     c *= n1*d;  
52.     c += a1;  
53.     n3 = n1*n2*d;  
54.     a3 = (c%n3+n3)%n3;  
55.     return true;  
56. }  
57. //求模線性方程組x=ai(mod ni),ni可以不互質  
58. int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n)  
59. {  
60.     int64 a1=a[0],n1=n[0];  
61.     int64 a2,n2;  
62.     for(int i = 1; i < len; i++)  
63.     {  
64.         int64 aa,nn;  
65.         a2 = a[i],n2=n[i];  
66.         if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))  
67.             return -1;  
68.         a1 = aa;  
69.         n1 = nn;  
70.     }  
71.     Mod = n1;  
72.     return (a1%n1+n1)%n1;  
73. }  
74. int64 a[1000],b[1000];  
75. int main()  
76. {  
77.     int i;  
78.     int k;  
79.     while(scanf("%d",&k)!=EOF)  
80.     {  
81.         for(i = 0; i < k; i++)  
82.             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
83.         printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a));  
84.     }  
85.     return 0;  
86. }