0/1背包的問題模型如下：

　　給定N個物品，其中第i個物品的體積為V_i ，價值為W_i 。有一容積為M的背包，要選擇一些物品放入背包，使物品體積不超過M的前提下，物品的價值總和最大。

dp[i][j]表示從前i個物品中選出了總體積為j的物品放入背包，物品的最大價值。即我們很容易得出解決的代碼：

memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++)
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
        for(int
 
 j=v[i];j<=m;j++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

根據上面的代碼 我們可以看出 狀態方程的推導只和當前狀態以及上一狀態有關。所以我們可以用滾動數組優化

memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++)
            dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j];
        
 
for(int j=v[i];j<=m;j++)
            dp[i&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i-1)&1][j-v[i]]+w[i]);
    }

這裏我們只要2*m的空間即可

其實進一步分析代碼，在每個階段的開始，我們實際上只是執行了一次從dp[i-1][]到dp[i][]的一次拷貝，也就是說我們可以進一步省略掉dp數組的第一維

即dp[j]表示背包中放入總體積為j的最大價值

memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        
 
for(int j=m;j>=v[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    }

我們應該可以註意到，我們的第二重循環采用了倒序的方式，這是為了滿足0/1背包問題中每個物品是唯一的，只能放入一次的要求

0/1背包