演算法——最優解之動態規劃

1. 動態規劃的定義

動態規劃作為一個非常優秀的演算法被很多應用稱為Optimal Algorithm
，也就是所謂的最優演算法。它是一個總能找到最優解的演算法，而它主要應用於多階段決策的問題。但是，它也存在著一定的弊端，也就是準確度和效率不能並存，它一定能找到最優解，但是其時間複雜度通常都是冪指數，有很多應用只能在中小規模中實現，但這絲毫不影響動態規劃的名聲。下面我們給出動態規劃的描述性語言：

無論過程的初始狀態和初始決策是什麼，其餘的決策都必須相對於初始決策所產生的狀態構成一個最有序列。

動態規劃的核心主要是：狀態轉移。這個說法可能比較抽象，我們會在接下來的一個一個例子中，找到答案。

2. 多段圖問題

1. 問題描述

多段圖問題作為動態規劃的入門問題，相對來講是比較好理解的，其問題描述如下：

有一點S要到終點T，中間要經過若干段，每一段都有若各種走法，求出花費最少的路徑。

這樣的描述可能太過抽象，我們可以看下圖
這裡寫圖片描述
我們要從出發點1走到目標點12，中間需要走的段數有3段，分別有4個結點、3個結點、3個結點，那麼我們怎麼才能從這10個節點中，每個段中選擇一個，最後拼出來最短路徑呢？

2. 演算法詳解

這有點讓我們想到了一個經典的問題，就是坐火車問題。我們這裡使用向前處理法。也就是從12往前推，一段一段的靠到起點上。思路如下：
9，10，11這3個結點沒有說的，只有一條路可以到達12，所以不用動。再往前看1段，在6,7,8這一段中，有3個結點，那麼這三個結點怎麼選擇9,10,11節點後到達12結點最近呢，只需要通過計算後，就能知道每個結點的最短路徑了，然後依次類推，直到到達出發路徑。
思想就是這樣，那麼其核心公式就是
%C

OST(i,j)=minc(j,l)+COST(i+1,l)$

具體程式碼在Github上展示，這裡我們只寫出演算法:

procedure FGRAPH(E,k，n,p)
//輸入的按段的順序給結點編號的，有n個結點的k段圖。E是邊集,c（i,j）是邊<i,j>的成本。P（1：k）是最小成本路徑。
    real COST(n)，integer D(n-1),P(k)，r,j,k,n
    COST(n)←0
    for j←n-1 to 1 by -1 do 
        設r 是一個這樣的結點,(j,r)∈E且使c(j,r)+COST（r）取最小值
        COST 
（j）←c(j,r)+COST(r)
        D（j）←r
    repeat
    P(1)←1;P(k)←n
    for j←2 to k-1 do
        P(j)←D（P（j-1））
    repeat
end FGRAPH

這就是多段圖的向前處理法。

3.最優二分檢索

1.問題描述

我們之前講過二分檢索時，說二分檢索已經是基於比較檢索的時間下限了，那麼最優二分檢索是什麼東西呢，我們之前講二分檢索時，每一個部分都是具有相同的先驗概率的，但是如果我們的先驗概率如果不一致時，如何進行檢索呢，比如，我們常見到的猜物品價格的遊戲，事實上，它的價格分佈並不是均勻的，一個微波爐，顯然大於1000的可能性比較小，因此正常的二分檢做並不能達到最優，這時候就需要最優二分檢索樹來幫忙了。
我們最優二分檢索樹的目標是：要使得檢索的成本儘可能的小，無論查詢到了還是沒找到。

2. 演算法詳解

我們這裡給出核心思想：
已知a(1:n),P(1:n),Q(0:n)
初始條件：w(i,i)=Q(i),C(i,i)=0,R(i,i)=0
公式：
C（i，j）=min{C(i,k-1)+C(k,j)}+W(i,j) (i

4. 0/1揹包問題

1.問題描述

這裡我們加了一個限制條件叫做0/1揹包問題，和之前的揹包問題不同的是，這個揹包問題只能要麼全部裝進去，要麼都不裝進去，這樣子，我們用之前的貪心演算法並不能解決了，這時候，就要使用我們的動態規劃的思想了，我們這裡就介紹這個演算法，它和我們前面兩個問題不同，它採用的是狀態轉移的思想來解決。

2.演算法詳解

如果我們設fj(x)是KNAP（i,j,x）最優解的值
則fn(m)=Max(fn−1(M),fn−1(M−Wn)+Pn)
這樣，由遞推關係就找到了，但是我們不用這方法，我們使用一種狀態轉移的方法。
由關係式可得fi−1(M−Wi)+Pi是fi−1(X)向右平移Wi個單位向上平移Pi個單位疊加後取值較大的哪個，而那些轉折點即為序偶
定義序偶為(pi,wi),(p0,w0)=(0,0)
Si−1是fi−1的所有序偶集合，Si是fi−1(M−Wi)+Pi的所有序偶集合，把(wi,pi)加入到Si−1集合中，就得到了Si−11集合
但是這集合是有支配規則的：
1）wi≤wmax，即不能超過背包最大承重量
2）對於wj≥wk，必須保證p

演算法——最優解之動態規劃

1. 動態規劃的定義

2. 多段圖問題

1. 問題描述

2. 演算法詳解

3.最優二分檢索

1.問題描述

2. 演算法詳解

4. 0/1揹包問題

1.問題描述

2.演算法詳解

演算法——最優解之動態規劃

證明求最短路徑問題具有最優子結構（動態規劃）

獨立任務最優排程（動態規劃）

最優三角劃分(動態規劃) By ACReaper

動態規劃演算法-----找零錢問題（求最優解）

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