之前一直知道擴展歐幾裏德算法的實現代碼，但是原理一直還是模模糊糊，看了很多終於明白了，於是決定寫一篇來記錄下自己的思路。

下面實現的其他定理就不再多解釋了，主要講擴展歐幾裏德算法。

擴展歐幾裏德算法就是用來求 Ax+By=K 的一組解, A,B,K 都是已知常量，求解 x, y.

首先，根據“貝祖等式“可知，

　　　　　　　　Ax1+By1=gcd(A,B).

所以我們可以接著推出

　　　　　　　C =A%B.

　　　　　　　Bx2 + Cy2 = gcd(B,C)

　　　　　 = Bx2 + (A%B)y2 = gcd( B, A%B )

然後我們再接著推個用到的

　　　　　　A%B=[A-(A/B)*B]. //這一步要註意下，這裏的 ‘A/B’是計算機中的A/B，不保留小數的　

最後，我們可以來總推了

　　　　　　Ax1 + By1 = gcd( A, B ) .

　　　　　　C=A%B.

　　　　　　Bx2 + Cy2 = gcd( B, C ).

　　　　　　gcd( A, B ) = gcd( B, C ).//劃重點

　　　所以

　　　　　　Ax1 + By1 = Bx2 + Cy2

　　　　　　Ax1 + By1 = Bx2 + ( A%B )y2

　　　　　　Ax1 + By1 = Bx2 + [ A - (A/B) * B ]y2

　　　　　　Ax1 + By1 = Bx2 + Ay2 - [ (A/B) *B]y2

　　　根據恒等定理得

　　　　　　Ax1 = Ay2

　　　　　　By1 = Bx2 - B*[ (A/B) *y2 ] = B * [ x2 - (A/B)*y2 ]

　　　所以

　　　　　　x1 = y2

　　　　　　y1 = x2 - (A/B)*y2

　　　仔細觀察下這其實就是個遞推的過程

　　　　　　因為 x1要從 y2得來 , y1要從 x2 - (A/B)*y2得來

　　　　　　 而 x2 要從 y3 得來 , y2要從 x3 - (A/B)*y3得來

　　　　　　　.........................................................................

　　　　　　 最終Xn-1 要從 Yn得來，Yn-1 要從 Xn - (A/B)*Yn

　　　　　　 //註意，這裏的A和B的值, 每次都不一樣, A 和 B 不斷的替換為 A=B , B=A%B,其實就是gcd的參數變換

　　　那麽這個遞推的邊界在哪裏呢？

　　　　　　假設 A>0 B=0

　　　　　　則 gcd( A, B )=A.

　　　　　　則 Ax + By =gcd ( A,B )

　　　　　　可以推出 x=1, y=0.

　　　　　　那麽邊界就是當 B=0的時候, 賦值 x=1，y=0 然後返回

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下面給出兩個實現代碼，一個是簡單流程實現版，一個是代碼簡化版，建議看懂第一個 然後 用 第二個

//簡化版
int gcd_pro(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (B == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return A;
    }
    else
    {
        int ans;
        int x_temp, y_temp;

        x_temp = x;
        y_temp = y;
        ans=gcd_pro(B, A%B, x_temp, y_temp);

        x = y_temp;
        y = x_temp - (A / B)*y_temp;
        return ans;
    }
}

//白書版
int gcd_pro(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (B == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return A;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans = gcd_pro(B, A%B, y, x);
        y -= (A / B)*x;
        return ans;
    }
}

不過，我們經常性是要解決 Ax + By=C 這樣的方程，知道了 Ax + By = gcd(A,B)的解又有什麽用呢？

沒關系，還是簡單數學推導:

　　　　Ax + By = C

　　　　Ax + By = [C * gcd(A,B)] / gcd(A,b)

　　　　A*[ x * C / gcd(A,B) ] + B*[ y* C / gcd(A,B) ] = gcd( A, B )

這樣你看，原本的 x 變成了 x * C / gcd(A,B)

這樣你看，原本的 y 變成了 y* C / gcd(A,B)

所以，我們只要把 Ax + By = gcd(A,B) 得出的 x 和 y，

乘等於 C / gcd(A,B) 就得到 Ax + By = C 的解

下面給出例子

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

int gcd_pro(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (B == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return A;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans = gcd_pro(B, A%B, y, x);
        y -= (A / B)*x;
        return ans;
    }
}

int main() 
{
    int ans;
    int x_ans, y_ans;
    int A_ans, B_ans, C_ans;

    x_ans = y_ans = 0;
    cin >> A_ans >> B_ans >> C_ans;

    ans=gcd_pro(A_ans, B_ans, x_ans, y_ans);

    x_ans *= ans;
    y_ans *= ans;

    cout << ans << endl << x_ans << ‘ ‘ << y_ans << endl;

    return 0;
}

擴展歐幾裏德算法~易懂版